题目内容

【题目】如图所示,在水平面上有一弹簧,其左端与墙壁相连,O点为弹簧原长位置,O点左侧水平面光滑,水平段OP长L=1 m,P点右侧一与水平方向成θ=30°的足够长的传送带与水平面在P点平滑连接,皮带轮逆时针转动速率为3 m/s,一质量为1 kg可视为质点的物块A压缩弹簧(与弹簧不拴接),使弹簧获得弹性势能Ep=9 J,物块与OP段动摩擦因数μ1=0.1,另一与A完全相同的物块B停在P点,B与传送带间的动摩擦因数μ2,传送带足够长,A与B的碰撞时间不计,碰后A、B交换速度,重力加速度g取10 m/s2,现释放A,求:

(1)物块A、B第一次碰撞前瞬间,A的速度v0

(2)从A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前,B与传送带之间由于摩擦而产生的热量;

(3)A、B能够碰撞的总次数

【答案】 (1)4 m/s (2)12.25 J (3)6次

【解析】(1)设物块质量为m,A与B第一次碰撞前的速度为v0

则Epm+μ1mgL,

解得v0=4 m/s.

(2)设A、B第一次碰撞后的速度分别为vA、vB,则vA=0,vB=4 m/s,碰后B沿传送带向上做匀减速运动直至速度为零,加速度大小设为a1

则mgsin θ+μ2mgcos θ=ma1

解得a1=gsin θ+μ2gcos θ=10 m/s2.

运动的时间t1=0.4 s,位移x1t1=0.8 m.

此过程相对运动路程Δs1=vt1+x1=2 m.

此后B反向加速,加速度仍为a1,由于mgsin θ=μ2mgcos θ,B与传送带共速后做匀速运动直至与A再次碰撞,

加速时间为t2=0.3 s,

位移为x2t2=0.45 m.

此过程相对运动路程Δs2=vt2-x2=0.45 m.

全过程摩擦产生的热量Q=μ2mg(Δs1+Δs2)cos θ=12.25 J.

(3)B与A第二次碰撞,两者速度再次互换,此后A向左运动再返回与B碰撞,B沿传送带向上运动再次返回,每次碰后到再次碰前速率相等,重复这一过程直至两者不再碰撞,则对A、B和弹簧组成的系统,从第二次碰撞后到不再碰撞满足mv2=2nμ1mgL.

解得第二次碰撞后重复的过程数为n=2.25,所以碰撞总次数为N=2+2n=6.5=6(取整数).

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