题目内容
在半径R=5 000km的某星球表面，宇航员做了如下实验，实验装置如图甲所示．竖直平面内的光滑轨道由轨道AB和圆弧轨道BC组成，将质量m=0.2kg的小球，从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力F，改变H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示．求：
（1）圆轨道的半径及星球表面的重力加速度．
（2）该星球的第一宇宙速度．
（3）从轨道AB上高H处的某点由静止释放小球，要使小球不脱离轨道，H的范围是多少？
（1）圆轨道的半径及星球表面的重力加速度．
（2）该星球的第一宇宙速度．
（3）从轨道AB上高H处的某点由静止释放小球，要使小球不脱离轨道，H的范围是多少？
分析：（1）小球从A到C运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律求出小球对轨道C点的压力与H的关系式，然后结合F-H图线求出圆轨道的半径和星球表面的重力加速度．
（2）第一宇宙速度与贴着星球表面做匀速圆周运动的速度相等，根据万有引力等于重力提供向心力，求出该星球的第一宇宙速度．
（3）小球到C点时具有最小速度，此时重力提供向心力，对轨道压力为零，此时高度为最小高度．
（2）第一宇宙速度与贴着星球表面做匀速圆周运动的速度相等，根据万有引力等于重力提供向心力，求出该星球的第一宇宙速度．
（3）小球到C点时具有最小速度，此时重力提供向心力，对轨道压力为零，此时高度为最小高度．
解答：解：（1）小球过C点时满足：
F+mg=m
由动能定理：
mg(H-2r)=
m
联立解得：
F=
H-5mg
由图可知：
H1=0.5 m时F1=0；H2=1.0 m时F2=5 N；
可解得g=5 m/s2；r=0.2 m
（2）由mg=m
解得：
v=
=5×103m/s
（3）小球到C点时具有最小速度，此时重力提供向心力，对轨道压力为零，此时高度为最小高度．
由图可知，压力为零时，高度为0.5m．
故释放高度范围为：H≥0.5m
答：（1）圆轨道的半径及星球表面的重力加速度g=5 m/s2．（2）该星球的第一宇宙速度v=5×103m/s．（3）从轨道AB上高H处的某点由静止释放小球，要使小球不脱离轨道，H的范围为H≥0.5m．
F+mg=m
| vC2 |
| r |
由动能定理：
mg(H-2r)=
| 1 |
| 2 |
| v | 2 c |
联立解得：
F=
| 2mg |
| r |
由图可知：
H1=0.5 m时F1=0；H2=1.0 m时F2=5 N；
可解得g=5 m/s2；r=0.2 m
（2）由mg=m
| v2 |
| R |
v=
| gR |
（3）小球到C点时具有最小速度，此时重力提供向心力，对轨道压力为零，此时高度为最小高度．
由图可知，压力为零时，高度为0.5m．
故释放高度范围为：H≥0.5m
答：（1）圆轨道的半径及星球表面的重力加速度g=5 m/s2．（2）该星球的第一宇宙速度v=5×103m/s．（3）从轨道AB上高H处的某点由静止释放小球，要使小球不脱离轨道，H的范围为H≥0.5m．
点评：本题是牛顿运动定律与机械能守恒定律的综合题，解决本题的关键根据该规律得出压力F与H的关系式．
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