Question

14．如图所示，半圆玻璃砖的半径R=l0cm，折射率为n=$\sqrt{3}$，直径AB与感光胶片MN垂直并接触于A点，单色激光以入射角i=30°射向半圆玻璃砖的圆心O．现将入射光线在纸面内绕圆心O始顺时针以恒定角速度转动，转动角速度ω=$\frac{π}{12}$，求光线开始转动后2秒内，胶片被感光的总长度L．

Answer 1

分析 当入射角为i=30°时，激光在AB面上产生了折射和反射，在水平屏幕MN上出现两个光斑，作出光路图．根据折射定律求出折射角．根据反射定律求出反射角，由几何知识求出两个光斑到A点的距离．当入射光线顺时针转过30°时，可判断出光线发生了全反射，再由几何关系求得在MN上的光斑到A点的距离，从而求得胶片被感光的总长度L．

解答 解：当入射角为i=30°时，画出如图光路图，设折射角为r，根据折射定律n=$\frac{sinr}{sini}$得：
解得 r=60°
由几何知识得，AP之间的距离 PA=$\frac{R}{\sqrt{3}}$
PQ之间的距离 PQ=$\sqrt{3}$R
光线转动2s时，转过的角度为 θ=ωt=$\frac{π}{12}$×2=$\frac{π}{6}$=30°
设临界角为C，则有sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则得 C＜60°
所以转过2s时光线已发生了全反射，PA段被感光，此时光反射至E点，由几何关系可得 AE=$\frac{R}{\sqrt{3}}$，在转动过程中，被反射光线感光的部分为QE，且 QE=$\sqrt{3}$R-$\frac{R}{\sqrt{3}}$=$\frac{2R}{\sqrt{3}}$
所以光线开始转动后2秒内胶片被感光的总长度 L=PA+QE=$\sqrt{3}$R=10$\sqrt{3}$cm．
答：光线开始转动后2秒内胶片被感光的总长度L为10$\sqrt{3}$cm．

点评 本题是几何光学问题，作出光路图是关键，根据光的折射定律、反射定律与几何知识进行解答．