Question

【题目】如图所示，水平轨道MN与半径为R的竖直光滑圆弧轨道相切于N点．质量为m的小滑块A静止于P点．质量为M=2m的小滑块B以速度v0向右运动，A、B碰后粘连在一起，已知A、B与水平面间的动摩擦因数为μ，MP和PN距离均为R，求：

（1）AB碰撞过程中损失的机械能？
（2）当v0的大小在什么范围时，两小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道？已知重力加速度为g．

Answer 1

【答案】
（1）解：小滑块B运动到P时的速度设为v1，对B应用动能定理有：

﹣μMgR= Mv12﹣ Mv02，

当ab粘在一起过程中，设ab粘在一起时的速度为v1，对ab应用瞬间动量守恒，选取向右为正方向，有：

Mv1=（M+m）v2，

应用功能关系可知ab碰撞过程中损失的机械能△E= Mv12﹣ （M+m）v22，

解得△E= ；

答：AB碰撞过程中损失的机械能为 ；

（2）A、B碰撞后的速度为v1，欲使A、B运动时不脱离圆弧轨道，有两种可能：

①当v0较小时A、B在圆弧上摆动，若A、B最高点恰好能到与圆心等高的位置，对A、B，从碰后到与圆心等高的地方，由动能定理有：

﹣μ（M+m）gR﹣（M+m）gR=0﹣ （M+m）v22，

联立得v0= ；

②当v0较大时，A、B能够做完整的圆周运动．若A、B恰好做完整圆周运动时的情形，对A、B，从碰后运动到圆周最高点（设此时速度为v3）的过程中，由动能定理有：

﹣μ（M+m）gR﹣（M+m）g（2R）= （M+m）v32﹣ （M+m）v22，

在最高点时，由牛顿第二定律得（M+m）g= ，

联立得v0= ，综上所述，当v0≤ 或v0≥ 时，两小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道

答：当v0≤ 或v0≥ 时，两小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道．

【解析】（1）碰撞后两个物块粘到一起，属于完全非弹性碰撞能量损失最大。先根据动能定理求出B物块运动到P时的速度，然后根据动量守恒，求出两物块粘在一起共同速度，用碰撞前的总动能减去碰撞后的总动能，就是碰撞过程中损失的机械能。
（2）首先分析两物块而不脱离轨道的可能，一种情况是A、B最高点恰好能到与圆心等高的位置，还有一种情况A、B恰好做完整圆周运动，对两种情况分别应用动能定理求出初速度的范围值。
【考点精析】掌握向心力和功能关系是解答本题的根本，需要知道向心力总是指向圆心，产生向心加速度，向心力只改变线速度的方向，不改变速度的大小；向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的质点受力情况时，千万不可在物体受力之外再添加一个向心力；当只有重力（或弹簧弹力）做功时，物体的机械能守恒；重力对物体做的功等于物体重力势能的减少:W G =E p1 -E p2；合外力对物体所做的功等于物体动能的变化:W 合 =E k2 -E k1 （动能定理）；除了重力（或弹簧弹力）之外的力对物体所做的功等于物体机械能的变化:W F =E 2 -E 1．