题目内容

【题目】某工地一传输工件的装置可简化为如图所示的情形,AB为一段足够大的圆弧固定轨道,圆弧半径R=5.6m,BC为一段足够长的水平轨道,CD为一段圆弧固定轨道,圆弧半径r=1m,三段轨道均光滑.一长为L=2m、质量为M=1kg的平板小车最初停在BC轨道的最左端,小车上表面刚好与AB轨道相切,且与CD轨道最低点处于同一水平面.一可视为质点、质量为m=2kg的工件从距AB轨道最低点h高处沿轨道自由滑下,滑上小车后带动小车也向右运动,小车与CD轨道左端碰撞(碰撞时间极短)后即被粘在C处.工件只有从CD轨道最高点飞出,才能被站在台面DE上的工人接住.工件与小车的动摩擦因数为μ=0.5,取g=10m/s2,,求:

(1)若h为2.8m,则工件滑到圆弧底端B点时对轨道的压力为多大?

(2)要使工件能被站在台面DE上的工人接住h的取值范围

【答案】(1)40N;(2)

【解析】(1)工件从起点滑到圆弧轨道底端B,设到B点时的速度为vB根据动能定理:

工件做圆周运动,在B点,由牛顿第二定律得:

由①②两式可解得:N=40N

由牛顿第三定律知,工件滑到圆弧底端B点时对轨道的压力为N=N=40N

(2)①由于BC轨道足够长,要使工件能到达CD轨道,工件与小车必须能达共速,设工件刚滑上小车时的速度为v0,工件与小车达共速时的速度为v1,假设工件到达小车最右端才与其共速,规定向右为正方向,则对于工件与小车组成的系统,由动量守恒定律得:

mv0=(m+M)v1

由能量守恒定律得:

对于工件从AB轨道滑下的过程,由机械能守恒定律得:

代入数据解得:h1=3m.

②要使工件能从CD轨道最高点飞出,h1=3m为其从AB轨道滑下的最大高度,设其最小高度为h,刚滑上小车的速度为v0,与小车达共速时的速度为v1,刚滑上CD轨道的速度为v2,规定向右为正方向,由动量守恒定律得:

mv0=(m+M)v1…⑥

由能量守恒定律得:

工件恰好滑到CD轨道最高点,由机械能守恒定律得:

工件在AB轨道滑动的过程,由机械能守恒定律得:

联立。⑥⑦⑧⑨,代入数据解得:h=m

综上所述,要使工件能到达CD轨道最高点,应使h满足: m<h3m.

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