【题目】已知椭圆上任意一点到其两个焦点，的距离之和等于，且圆经过椭圆的焦点．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，若直线与圆O相切，且与椭圆相交于A，B两点，直线与平行且与椭圆相切于点M（O，M位于直线的两侧）．记，的面积分别为，，求的取值范围．

【题目】如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，，侧面SAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，且平面平面ABCD，M，N分别为AD，SC的中点．

（1）求证：平面SAB．

（2）求直线BN与平面SAB所成角的余弦值．

【题目】过抛物线的焦点F任作两条互相垂直的直线，，分别与抛物线E交于A，B两点和C，D两点，则的最小值为________．

【题目】已知椭圆的离心率为，且四个顶点构成的四边形的面积是．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线经过点，且不垂直于轴，直线与椭圆交于，两点，为的中点，直线与椭圆交于，两点（是坐标原点），求四边形的面积的最小值．

【题目】已知函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）讨论在区间上的零点个数．

【题目】在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中为斜边，若把沿边折叠到的位置，使平面平面．

（1）证明：．

（2）若为棱的中点，求二面角的余弦值．

【题目】某中学有教师400人，其中高中教师240人．为了了解该校教师每天课外锻炼时间，现利用分层抽样的方法从该校教师中随机抽取了100名教师进行调查，统计其每天课外锻炼时间（所有教师每天课外锻炼时间均在分钟内），将统计数据按，，，…，分成6组，制成频率分布直方图如下：假设每位教师每天课外锻炼时间相互独立，并称每天锻炼时间小于20分钟为缺乏锻炼．

（1）试估计本校教师中缺乏锻炼的人数；

（2）从全市高中教师中随机抽取3人，若表示每天课外锻炼时间少于10分钟的人数，以这60名高中教师每天课外锻炼时间的频率代替每名高中教师每天课外锻炼时间发生的概率，求随机变量的分布列与数学期望．

【题目】已知双曲线的虚轴的一个顶点为，左顶点为，双曲线的左、右焦点分别为，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，若，则双曲线的离心率为（ ）．

A.B.C.D.

【题目】已知椭圆：，圆：，一动圆在轴右侧与轴相切，同时与圆相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线，椭圆与曲线有相同的焦点.

（1）求曲线的方程；

（2）设曲线与椭圆相交于第一象限点，且，求椭圆的标准方程；

（3）在（2）的条件下，如果椭圆的左顶点为，过且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，直线，与直线：分别交于，两点，证明：四边形的对角线的交点是椭圆的右顶点.

【题目】某校为了有效地加强高中生自主管理能力，推出了一系列措施，其中自习课时间的自主管理作为重点项目，学校有关处室制定了“高中生自习课时间自主管理方案”.现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”，调查人员分别在各个年级随机抽取若干学生对该“方案”进行评分，并将评分分成，，，七组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

相关规则为①采用百分制评分，内认定为对该“方案”满意，不低于80分认定为对该“方案”非常满意，60分以下认定为对该“方案”不满意；②学生对“方案”的满意率不低于即可启用该“方案”；③用样本的频率代替概率.

（1）从该校学生中随机抽取1人，求被抽取的这位同学非常满意该“方案”的概率，并根据频率分布直方图求学生对该“方案”评分的中位数.

（2）根据所学统计知识，判断该校是否启用该“方案”，说明理由.