题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面ABCD为矩形,
,
,侧面SAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,且平面
平面ABCD,M,N分别为AD,SC的中点.
(1)求证:平面SAB.
(2)求直线BN与平面SAB所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)取SB的中点H,连接AH与NH,由平面几何的知识可得四边形AHNM是平行四边形,,再由线面平行的判定即可得证;
(2)设直线BN与平面SAB所成的角为,其中
,点N到平面SAB的距离为d,由题意结合线面、面面位置关系的性质与判定可得
,连接SM,由面面垂直的性质可得
平面ABCD,进而可得
,由余弦定理求得
后,利用
,即可得解.
(1)如图,取SB的中点H,连接AH与NH,
∵M,N分别为AD,SC的中点,∴且
,
∴,且
,
∴四边形AHNM是平行四边形,,
∵平面SAB,
平面SAB,∴
平面SAB.
(2)设直线BN与平面SAB所成的角为,其中
,点N到平面SAB的距离为d,
由(1)知平面SAB,则M到平面SAB的距离也是d,
∵平面平面ABCD,平面
平面
,
,
∴平面SAD,又
平面SAB,∴平面
平面SAD,
又平面平面
,平面SAD内的直线SD垂直于两平面的交线SA,
∴平面SAB.
∵M是等腰直角三角形ADS斜边AD的中点,所以M到平面SAB的距离d是DS的一半,
∵,∴
,∴
.
连接SM,CM,BM,
∵平面平面ABCD,平面SAD内的直线SM垂直两平面的交线AD于点M,
∴平面ABCD.
由勾股定理易得,
∴,
在中,由余弦定理得
,
∴,
∴,
,
∴直线BN与平面SAB所成角的余弦值为.
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