题目内容
【题目】已知双曲线的虚轴的一个顶点为,左顶点为,双曲线的左、右焦点分别为,,点为线段上的动点,当取得最小值和最大值时,的面积分别为,,若,则双曲线的离心率为( ).
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
设直线所在直线的方程为,设,,,则可得,,从而可求出两向量的数量积的表达式,由二次函数的性质可求出当时,取得最小值,从而可求;当时,在处取得最大值,此时,,由可求出,进而可求离心率的值.
解:由题意可知,,则直线所在直线的方程为,
因为点在线段上,可设,其中.
设双曲线的焦距为,则,,,
从而,,
故.
因为,所以当时,取得最小值,
此时,.
当,即时,无最大值,所以不符合题意;
当,即时,在处取得最大值,此时,,
因为,所以,解得,符合题意.
综上,,,,故双曲线的离心率.
故选:A.
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