题目内容

【题目】已知双曲线的虚轴的一个顶点为,左顶点为,双曲线的左、右焦点分别为,点为线段上的动点,当取得最小值和最大值时,的面积分别为,若,则双曲线的离心率为( ).

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

设直线所在直线的方程为,设,则可得,从而可求出两向量的数量积的表达式,由二次函数的性质可求出当时,取得最小值,从而可求;当时,处取得最大值,此时,,由可求出,进而可求离心率的值.

解:由题意可知,则直线所在直线的方程为

因为点在线段上,可设,其中

设双曲线的焦距为,则

从而

因为,所以当时,取得最小值,

此时,

,即时,无最大值,所以不符合题意;

,即时,处取得最大值,此时,

因为,所以,解得,符合题意.

综上,,故双曲线的离心率

故选:A.

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