题目内容
【题目】已知双曲线
的虚轴的一个顶点为
，左顶点为
，双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
为线段
上的动点，当
取得最小值和最大值时，
的面积分别为
，
，若
，则双曲线的离心率为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
设直线
所在直线的方程为
，设
，
，
，则可得
，
，从而可求出两向量的数量积的表达式
，由二次函数的性质可求出当
时，
取得最小值，从而可求
；当
时，在
处取得最大值，此时，
，由
可求出
，进而可求离心率的值.
解：由题意可知
，
，则直线所在直线的方程为，
因为点
在线段上，可设，其中
．
设双曲线
的焦距为
，则
，，，
从而，，
故
．
因为，所以当时，取得最小值，
此时，
．
当
，即
时，无最大值，所以不符合题意；
当
，即时，在处取得最大值，此时，，
因为，所以
，解得，符合题意．
综上，，，
，故双曲线的离心率
．
故选:A.
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