Question

已知函数 ．
（Ⅰ）若a>0，函数y=f(x)在区间(a，a ²-3)上存在极值，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a>2，求证：函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点．

Answer 1

（Ⅰ） ；
（Ⅱ），函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点。

试题分析：（Ⅰ）由已知
令，解得或
 不在(a，a ²-3)内
要使函数y=f(x)在区间(a，a ²-3)上存在极值，只需
解得      6分
（Ⅱ） 
在（0，2）上恒成立，即函数数y=f(x)在（0，2）内单调递减
又
函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点      12分
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。涉及比较大小问题，通过构造函数，转化成了研究函数的单调性及最值。涉及函数的零点问题，研究了函数的单调性及在区间端点的函数值的符号。