Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，且a≠0），当x∈[-3，1]时，有f（x）≤0；当x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）时，有（x）＞0，且f（2）=5．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[1，3]时，函数f（x）的图象始终在函数g（x）=mx-7的图象上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知，-3，1是二次方程ax²+bx+c=0的两根，从而可求得f（x）的解析式；
（2）x²+2x-3＞mx-7在x∈[1，3]时恒成立，可转化为：m＜x+

4

x

+2在x∈[1，3]时恒成立，应用基本不等式即可．

解答：解：（1）由题意知，-3，1是二次方程ax²+bx+c=0的两根．
可设f（x）=a（x-1）（x+3）（a≠0）…4
∵f（2）=5，∴f（2）=5a=5，即a=1，
∴f（x）=x²+2x-3…6
（2）由题意知，f（x）＞g（x）在x∈[1，3]时恒成立，即x²+2x-3＞mx-7在x∈[1，3]时恒成立，…10
故m＜x+

4

x

+2在x∈[1，3]时恒成立，
而x+

4

x

+2≥2

4

+2=6．（当且仅当x=2时等号成立．）
故m＜6…13

点评：本题考查基本不等式，难点在于对题目条件反映的“-3，1是二次方程ax²+bx+c=0的两根”的理解，着重考查化归思想，属于中档题．