Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log₂x，则在（8，10）内满足方程f（x）+1=f（1）的实数x为

1. A.
   
2. B.
   9
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：由f（x+1）为奇函数，可得f（x）=-f（2-x）．由f（x）为偶函数可得f（x）=f（x+4），故 f（x）是以4为周期的函数．当8＜x≤9时，求得f（x）=f（x-8）=log₂（x-8）．
由log₂（x-8）+1=0，得x的值．当9＜x＜10时，求得x无解，从而得出结论．
解答：∵f（x+1）为奇函数，即f（x+1）=-f（-x+1），即f（x）=-f（2-x）．
当x∈（1，2）时，2-x∈（0，1），∴f（x）=-f（2-x）=-log₂（2-x）．
又f（x）为偶函数，即f（x）=f（-x），于是f（-x）=-f（-x+2），即f（x）=-f（x+2）=f（x+4），故 f（x）是以4为周期的函数．
∵f（1）=0，∴当8＜x≤9时，0＜x-8≤1，f（x）=f（x-8）=log₂（x-8）．
由log₂（x-8）+1=0，得x=．
当9＜x＜10时，1＜x-8＜2，f（x）=f（x-8）=-log2[2-（x-8）]=-log₂（10-x），
-log₂（10-x）+1=0，得10-x=2，x=8＜9（舍）．
综上x=，
故选C．
点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性与周期性的应用，抽象函数的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．