Question

已知抛物线E：x²=4y，直线l过点M（0，2）且与抛物线交于A、B两点，直线OA、OB分别与抛物线的准线l₀交于C、D．
（1）若点P是抛物线y=

1

6

x2+

1

2

上任意一点，点P在直线l₀上的射影为Q，求证：PQ=PM；
（2）求证：

OA

•

OB

为定值；
（3）求CD的最小值．

Answer 1

分析：（1）设P（x₀，

1

6

x02+

1

2

），抛物线E：x²=4y的准线方程l₀为y=-1．由点P在直线l₀上的射影为Q，知PQ=

1

6

x02+

3

2

，由M（0，2），知PM=

(x0-0)2+( 1 6 x02- 3 2 )2

=

1

6

x02+

3

2

，由此能够证明PQ=PM．
（2）由题设知直线AB的斜率一定存在，设AB：y=kx+2，由

x2=4y y=kx+2

，得x²-4kx-8=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-8，y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-8k²+8k²+4=4，由此能够证明

OA

•

OB

为定值．
（3）由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O（0，0），C，D都在直线l₀：y=-1上，知C(-

x2

y2

，-1)，D（-

x1

y1

，-1），故CD=|

x2

y2

-

x1

y1

|=

|x2y1-x1y2|

y1y2

=

|x2(kx1+2)-x1(kx2+2)|

4

=

|x1-x2|

2

，由此能求出CD的最小值．

解答：解：（1）∵点P是抛物线y=

1

6

x2+

1

2

上任意一点，
∴设P（x₀，

1

6

x02+

1

2

），
抛物线E：x²=4y的准线方程l₀为y=-1．
∵点P在直线l₀上的射影为Q，
∴PQ=

1

6

x02+

3

2

，
∵M（0，2），∴PM=

(x0-0)2+( 1 6 x02- 3 2 )2

=

1

6

x02+

3

2

，
∴PQ=PM．
（2）证明：由题设知直线AB的斜率一定存在，设AB：y=kx+2，
由

x2=4y y=kx+2

，得x²-4kx-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-8，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-8k²+8k²+4=4，
∵

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-8+4=-4．
故

OA

•

OB

为定值-4．
（3）∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O（0，0），
∴直线AO：

y

x

=

y1

x1

，直线BO：

y

x

=

y2

x2

，
∵C，D都在直线l₀：y=-1上，
∴C(-

x2

y2

，-1)，D（-

x1

y1

，-1），
∴CD=|

x2

y2

-

x1

y1

|=

|x2y1-x1y2|

y1y2

=

|x2(kx1+2)-x1(kx2+2)|

4

=

|x1-x2|

2

=

(x1+x2)2-4x1x2

2

=

16k2+32

2

=2

k2+2

，
∴当k=0时，CD取最小值2

2

．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．