题目内容

已知抛物线E:x2=4y,直线l过点M(0,2)且与抛物线交于A、B两点,直线OA、OB分别与抛物线的准线l交于C、D.
(1)若点P是抛物线上任意一点,点P在直线l上的射影为Q,求证:PQ=PM;
(2)求证:为定值;
(3)求CD的最小值.

【答案】分析:(1)设P(x+),抛物线E:x2=4y的准线方程l为y=-1.由点P在直线l上的射影为Q,知PQ=+,由M(0,2),知PM==+,由此能够证明PQ=PM.
(2)由题设知直线AB的斜率一定存在,设AB:y=kx+2,由,得x2-4kx-8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1•x2=-8,y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-8k2+8k2+4=4,由此能够证明为定值.
(3)由A(x1,y1),B(x2,y2),O(0,0),C,D都在直线l:y=-1上,知,D(-),故CD=||===,由此能求出CD的最小值.
解答:解:(1)∵点P是抛物线上任意一点,
∴设P(x+),
抛物线E:x2=4y的准线方程l为y=-1.
∵点P在直线l上的射影为Q,
∴PQ=+
∵M(0,2),∴PM==+
∴PQ=PM.
(2)证明:由题设知直线AB的斜率一定存在,设AB:y=kx+2,
,得x2-4kx-8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=4k,x1•x2=-8,
y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-8k2+8k2+4=4,
=(x1,y1),=(x2,y2),
=-8+4=-4.
为定值-4.
(3)∵A(x1,y1),B(x2,y2),O(0,0),
∴直线AO:,直线BO:
∵C,D都在直线l:y=-1上,
,D(-),
∴CD=||=
=
==
==2
∴当k=0时,CD取最小值2
点评:本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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