Question

已知抛物线P：x²=2py （p＞0）．
（Ⅰ）若抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离为3．
（ⅰ）求抛物线P的方程；
（ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；
（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接AO，BO并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（ⅰ）欲求抛物线方程，需求出p值，根据抛物线上点到焦点F的距离与到准线距离相等，以及抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离为3，可解得 p，问题得解．
（ⅱ）求出E点坐标，设出过E的抛物线P的切线方程，再根据直线方程与抛物线方程联立，△=0，即可求出k值，进而求出切线方程．
（Ⅱ）设出A，B两点坐标，以及过焦点F的动直线l方程，代入抛物线方程，求x₁x₂，x₁+x₂，再求C，D点坐标，用含x₁，x₂的式子表示

FC

，

FD

坐标，在证

FC

，

FD

共线即可．

解答：解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离与到准线距离相等，
即M（m，2）到y=-

p

2

的距离为3；
∴-

p

2

+2=3，解得p=2．
∴抛物线P的方程为x²=4y．                                       
（ⅱ）抛物线焦点F（0，1），抛物线准线与y轴交点为E（0，-1），
显然过点E的抛物线的切线斜率存在，设为k，切线方程为y=kx-1．
由

x2=4y y=kx-1

，消y得x²-4kx+4=0，
△=16k²-16=0，解得k=±1．                                    
∴切线方程为y=±x-1．                                          
（Ⅱ）直线l的斜率显然存在，设l：y=kx+

p

2

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2=2py y=kx+ p 2

消y得 x²-2pkx-p²=0．   且△＞0．
∴x₁+x₂=2pk，x₁•x₂=-p²；
∵A（x₁，y₁），∴直线OA：y=

y1

x1

x，
与y=-

p

2

联立可得C(-

px1

2y1

，-

p

2

)，同理得D(-

px2

2y2

，-

p

2

)．          
∵焦点F(0，

p

2

)，
∴

FC

=(-

px1

2y1

，-p)，

FD

=(-

px2

2y2

，-p)，
∴

FC

•

FD

=(-

px1

2y1

，-p)•(-

px2

2y2

，-p)=

px1

2y1

px2

2y2

+p2=

p2x1x2

4y1y2

+p2=

p2x1x2

4 x12 2p x22 2p

+p2=

p4

x1x2

+p2=

p4

-p2

+p2=0
∴以CD为直径的圆过焦点F．

点评：本题考查了抛物线方程的求法，以及直线与抛物线的位置关系判断，做题时要认真分析，避免不必要的错误．