题目内容
已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x-y）=
成立，且f（a）=1（a为正常数），当0＜x＜2a时，f（x）＞0．
（1）判断f（x）奇偶性；
（2）求f （x）在[2a，3a]上的最小值和最大值．
| f(x)•f(y)+1 |
| f(y)-f(x) |
（1）判断f（x）奇偶性；
（2）求f （x）在[2a，3a]上的最小值和最大值．
（1）∵定义域{x|x≠kπ，k∈Z}关于原点对称，
又f（-x）=f[（a-x）-a]
=
=
=
=
=-f(x)，
对于定义域内的每个x值都成立
∴f（x）为奇函数
易证：f（x+4a）=f（x），周期为4a．
（2）f（2a）=f（a+a）=f[a-（-a）]
=
=
=0，
f（3a）=f（2a+a）=f[2a-（-a）]
=
=
=-1．
先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减为此，必须证明x∈（2a，3a）时，f（x）＜0，
设2a＜x＜3a，则0＜x-2a＜a，
∴f（x-2a）=
=
＞0，∴f（x）＜0
设2a＜x1＜x2＜3a，
则0＜x2-x1＜a，∴f（x1）＜0f（x2）＜0，f（x2-x1）＞0，
∴f（x1）-f（x2）=
＞0，∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在[2a，3a]上单调递减
∴f（x）在[2a，3a]上的最大值为f（2a）=0，最小值为f（3a）=-1
又f（-x）=f[（a-x）-a]
=
| f(a-x)•f(a)+1 |
| f(a)-f(a-x) |
| 1+f(a-x) |
| 1-f(a-x) |
1+
| ||
1-
|
=
| 2f(x) |
| -2 |
对于定义域内的每个x值都成立
∴f（x）为奇函数
易证：f（x+4a）=f（x），周期为4a．
（2）f（2a）=f（a+a）=f[a-（-a）]
=
| f(a)•f(-a)+1 |
| f(-a)-f(a) |
| 1-f2(a) |
| -2f(a) |
f（3a）=f（2a+a）=f[2a-（-a）]
=
| f(2a)•f(-a)+1 |
| f(-a)-f(2a) |
| 1 |
| -f(a) |
先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减为此，必须证明x∈（2a，3a）时，f（x）＜0，
设2a＜x＜3a，则0＜x-2a＜a，
∴f（x-2a）=
| f(2a)•f(x)+1 |
| f(2a)-f(2x) |
| 1 |
| -f(x) |
设2a＜x1＜x2＜3a，
则0＜x2-x1＜a，∴f（x1）＜0f（x2）＜0，f（x2-x1）＞0，
∴f（x1）-f（x2）=
| f(x1)•f(x2)+1 |
| f(x2-x1) |
∴f（x）在[2a，3a]上单调递减
∴f（x）在[2a，3a]上的最大值为f（2a）=0，最小值为f（3a）=-1
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