题目内容
14．已知曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=2．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上的点的距离的最小值是此时点P的坐标．
分析 （Ⅰ）把椭圆的参数方程变形，然后平方作和求得普通方程，展开两角和的余弦，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ求得直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P（$\sqrt{3}$cosφ，sinφ），由点到直线的距离公式得到距离，利用三角函数的最值求得答案．
解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{\sqrt{3}}=cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$，两式平方作和得$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，
∴曲线C1的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
由ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=2，得$ρcosθcos\frac{π}{3}-ρsinθsin\frac{π}{3}=2$，
即$\frac{1}{2}ρcosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ=2$，即$x-\sqrt{3}y-4=0$．
∴曲线C2的直角坐标方程为$x-\sqrt{3}y-4=0$；
（Ⅱ）设P（$\sqrt{3}$cosφ，sinφ），由题意知，点P到直线C2距离为
$d=\frac{|\sqrt{3}cosφ-\sqrt{3}sinφ-4|}{2}$=$\frac{|\sqrt{6}cos（\frac{π}{4}+φ）-4|}{2}≥\frac{4-\sqrt{6}}{2}$，
当φ=-$\frac{π}{4}$时，d取最小值$\frac{4-\sqrt{6}}{2}$，
此时点P（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
点评 本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，训练了点到直线的距离公式的应用，考查了三角函数最值的求法，是基础题．
如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，点E，F分别是B1C1，A1B1的中点，AA1=AB=BE=1，∠A1AB=60°．| A． | 6+3$\sqrt{2}$ | B． | 5+2$\sqrt{3}$ | C． | 8 | D． | 6+2$\sqrt{3}$ |
如图，在△ABC中，AB=AC，D在线段AC上，且AC=$\sqrt{2}$AD，BD=1．