Question

若等差数列{a_n}的首项为a₁=A_2x-3^x-1+C_x+1^2x-3（x＞3），公差d是(

x

-

2

x

)k的展开式中x²的系数，其中k为55⁵⁵除以8的余数．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n+15n-75，求证：

3

2

≤(1+

1

2bn

)bn＜

5

3

．

Answer 1

分析：（1）在a₁=A_2x-3^x-1+C_x+1^2x-3（x＞3），根据排列组合的意义列出不等关系求出x，从而得出首项，又55⁵⁵=（56-1）⁵⁵=56m-1求出k值，利用二项式定理求出公差d，最后利用等差数列的通项公式写出数列{a_n}的通项公式即可；
（2）结合（1）求得b_n，化简(1+

1

2bn

)bn=(1+

1

2n

)n，利用数列{(1+

1

2n

)n}是递增数列，即可得到证明．

解答：解：（1）在a₁=A_2x-3^x-1+C_x+1^2x-3（x＞3），中，有

2x-3≥x-1 x+1≥2x-3 x∈N x＞3

⇒x=4，
∴a₁=A₅³+C₅⁵=61，
又55⁵⁵=（56-1）⁵⁵=56m-1，m∈Z，∴55⁵⁵除以8的余数为7，∴k=7，
因(

x

-

2

x

)7的展开式中，通项为

C

r 7

(

x

)  7-r(-

2

x

)  r，当r=1时，它是含x²的项，
∴(

x

-

2

x

)k的展开式中x²的系数是：-C₇¹×2=-14，
∴d=-14，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=61+（n-1）×（-14）=75-14n，
（2）∵b_n=a_n+15n-75=75-14n+15n-75=n，
∴(1+

1

2bn

)bn=(1+

1

2n

)n，数列{(1+

1

2n

)n}是递增数列，
且当n=1时，(1+

1

2n

)n=

3

2

，
由于

lim

n→∞

(1+

1

2n

)n=[

lim

n→∞

(1+

1

2n

)2n] 

1

2

=

e

，
∴当n→+∞时，(1+

1

2n

)n→

e

＜

5

3

，
∴

3

2

≤(1+

1

2bn

)bn＜

5

3

．

点评：本小题主要考查排列组合、二项式定理、数列单调性的应用、数列与不等式的综合、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查极限思想、化归与转化思想，易错点是不能根据隐含条件得出变量x的值，属于中档题．