Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n．等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且S₄=2S₂+4，，．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈成立，求a₁的取值范围；
（Ⅲ）若，判别方程S_n+T_n=55是否有解？并说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S₄=2S₂+4，
∴4a₁+d=2（2a₁+d）+4，解得d=1．…3
（Ⅱ）∵等差数列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最小值S₈，必须有，即．
求得-8≤a₁≤-7，
∴a₁的取值范围是[-8，-7]．…4
（Ⅲ）由于等比数列{b_n}满足，，即，解得b₁=，q=，
∴，又S_n=na₁+n（n-1）d=n²，…2
则方程S_n+T_n=55转化为：n²+[1-]=110．
令：f（n）=n²+1-，知f（n）单调递增，
当1≤n≤10时，f（n）≤100+[1-]＜100+1=101，
当n≥11时，f（n）≥11²+[1-]＞11²=121，所以方程S_n+T_n=55无解．…3
分析：（Ⅰ）由S₄=2S₂+4，可求得公差d的值；
（Ⅱ）依题意，等差数列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最小值S₈，须，从而可求a₁的取值范围；
（Ⅲ）由题意可求得b₁=，q=，从而求得T_n，由等差数列的求和公式求得S_n，再结合S_n+T_n=55即可分析得到答案．
点评：本题考查数列与不等式的综合，着重考查等差数列与等比数列的求和，突出考查转化思想与方程思想、分类讨论思想的应用，属于难题．