题目内容

已知{an}是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,S4=2S2+4,b2=
1
9
T2=
4
9

(1)求公差d的值;
(2)若对任意的n∈N*,都有Sn≥S8成立,求a1的取值范围;
(3)若a1=
1
2
,判别方程Sn+Tn=2010是否有解?说明理由.国.
分析:(1)由S4=2S2+4,利用等差数列前n项和公式求出公差d的值即可.
(2)解法1:由an=a1+(n-1)d=n+a1-1,知 Sn=
a1+an
2
n=
1
2
[n2+(2a1-1)n]
,再由对任意的n∈N*,都有Sn≥S8,知
15
2
≤-
2a1-1
2
17
2
,由此能求出a1的取值范围.
解法2:由于等差数列{an}的公差d=1>0,Sn要取得最大值,必须有
a8≤0
a9≥0
,由此能求出a1的取值范围.
(3)由于等比数列{bn}满足 b2=
1
9
T2=
4
9
b1q=
1
9
b1+b1q=
4
9
b1=
1
3
   q=
1
3
Tn=
1
3
[1-(
1
3
)
n
]
1-
1
3
=
1
2
[1-(
1
3
)n]
Sn=na1+
1
2
n(n-1)d=
1
2
n2
,所以方程Sn+Tn=2009转化为:n2+[1-(
1
3
)n]=4018
,由此推导出方程Sn+Tn=2009无解.
解答:解答:解:(1)∵S4=2S2+4,∴4a1+
3×4
2
d=2(2a1+d)+4
(2分)
解得d=1(4分)
(2)解法1:an=a1+(n-1)d=n+a1-1(1分)
Sn=
a1+an
2
n=
1
2
[n2+(2a1-1)n]

∵对任意的n∈N*,都有Sn≥S8,∴
15
2
≤-
2a1-1
2
17
2
(4分)
∴-8≤a1≤-7
∴a1的取值范围是[-8,-7](5分)
解法2:由于等差数列{an}的公差d=1>0,Sn要取得最大值,
必须有
a8≤0
a9≥0
(1分)
a1+7d≤0
a1+8d≥0

求得-8≤a1≤-7(4分)
∴a1的取值范围是[-8,-7](5分)
(3)由于等比数列{bn}满足 b2=
1
9
T2=
4
9
b1q=
1
9
b1+b1q=
4
9
(1分)
b1=
1
3
   q=
1
3
Tn=
1
3
[1-(
1
3
)
n
]
1-
1
3
=
1
2
[1-(
1
3
)n]
(2分)
Sn=na1+
1
2
n(n-1)d=
1
2
n2
(3分)
则方程Sn+Tn=2009转化为:n2+[1-(
1
3
)n]=4018
(3分)
令:f(n)=n2+1-(
1
3
)n

由于 f(n+1)-f(n)=2n+1+
2
3
(
1
3
)n>0

所以f(n)单调递增(4分)
当1≤n≤63时,f(n)≤632+[1-(
1
3
)63]<632+1=3970
(5分)
当n≥64时,f(n)≥642+[1-(
1
3
)64]>642=4096
(6分)
综合:方程Sn+Tn=2009无解.
点评:本题考查等差数列通项公式、前n项和公式,数列的函数性质、函数、方程思想.考查转化、论证、计算能力.
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