Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列．
（1）若a_n=3n+1，是否存在m、k∈N^*，有a_m+a_m+1=a_k？说明理由；
（2）找出所有数列{a_n}和{b_n}，使对一切n∈N^*，

an+1

an

=bn，并说明理由；
（3）若a₁=5，d=4，b₁=q=3，试确定所有的p，使数列{a_n}中存在某个连续p项的和是数列{b_n}中的一项，请证明．

Answer 1

分析：（1）由a_m+a_m+1=a_k，得6m+5=3k+1，k-2m=

4

3

，由m、k∈N^*，知k-2m为整数，所以不存在m、k∈N^*，使等式成立．
（2）设a_n=nd+c，若

an+1

an

=bn，对n∈N^×都成立，且{b_n}为等比数列，则

an+2

an+1

/

an+1

an

=q，对n∈N^×都成立，由此入手能够导出有a_n=c≠0，b_n=1，使对一切n∈N^×，

an+1

an

=bn．
（3）a_n=4n+1，b_n=3ⁿ，n∈N^*，设a_m+1+a_m+2++a_m+p=b_k=3^k，p、k∈N^*，m∈N．
4m+2p+3+

3k

p

，由p、k∈N^*，知p=3^s，s∈N．由此入手能导出当且仅当p=3^s，s∈N，命题成立．

解答：解：（1）由a_m+a_m+1=a_k，得6m+5=3k+1，
整理后，可得k-2m=

4

3

，∵m、k∈N^*，∴k-2m为整数，
∴不存在m、k∈N^*，使等式成立．
（2）设a_n=nd+c，若

an+1

an

=bn，对n∈N^×都成立，
且{b_n}为等比数列，则

an+2

an+1

/

an+1

an

=q，对n∈N^×都成立，
即a_na_n+2=qa_n+1²，∴（dn+c）（dn+2d+c）=q（dn+d+c）²，
对n∈N^×都成立，∴d²=qd²
（i）若d=0，则a_n=c≠0，∴b_n=1，n∈N^*．
（ii）若d≠0，则q=1，∴b_n=m（常数），即

dn+d+c

dn+c

=m，则d=0，矛盾．
综上所述，有a_n=c≠0，b_n=1，使对一切n∈N^×，

an+1

an

=bn．
（3）a_n=4n+1，b_n=3ⁿ，n∈N^*，
设a_m+1+a_m+2++a_m+p=b_k=3^k，p、k∈N^*，m∈N．

4(m+1)+1+4(m+p)+1

2

p=3k，
∴4m+2p+3=

3k

p

，
∵p、k∈N^*，∴p=3^s，s∈N
取k=3s+2，4m=3^2s+2-2×3^s-3=（4-1）^2s+2-2×（4-1）^s-3≥0，由
二项展开式可得整数M₁、M₂，
使得（4-1）^2s+2=4M₁+1，2×（4-1）^s=8M₂+（-1）^S2
∴4m=4（M₁-2M₂）-（（-1）^S+1）2，
∴存在整数m满足要求．
故当且仅当p=3^s，s∈N，命题成立．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．