Question

已知函数f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)(ω＞0)的最小正周期为

π

2

，
（1）写出f（x）的单调递增区间；
（2）若x为不等边三角形的最小内角，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将函数进行降次，再用辅助角公式合并，可得f（x）=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，利用三角函数周期公式可得ω=2，最后根据正弦函数单调性的结论，可得f（x）的单调递增区间；
（2）不等边三角形的最小内角x应该在（0，

π

3

），由此可得4x-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

 ），所以sin（4x-

π

6

）∈（-

1

2

，1]，从而得到f（x）的值域为（0，

3

2

]．

解答：解：（1）f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)=

1

2

（1-cos2ωx）+

3

sinωxcosωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

∵函数的周期T=

2π

2ω

=

π

2

，
∴2ω=4，函数表达式为f（x）=sin（4x-

π

6

）+

1

2

令-

π

2

+2kπ≤4x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

12

+

1

2

kπ≤x≤

π

6

+

1

2

kπ，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间是[-

π

12

+

1

2

kπ，

π

6

+

1

2

kπ]，（k∈Z）
（2）∵x为不等边三角形的最小内角，
∴x∈（0，

π

3

）
∴4x-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

 ），可得sin（4x-

π

6

）∈（-

1

2

，1]
由此可得，f（x）=sin（4x-

π

6

）+

1

2

的值域为：（0，

3

2

]

点评：本题将一个三角函数式化简，并求函数的增区间和值域，着重考查了正弦函数的单调性、三角函数的周期的求法和三角函数中的恒等变换应用等知识，属于中档题．