题目内容

已知点(n,an)(n∈N*)在函数f(x)=-6x-2的图象上,数列{an}的前n项和为Sn
(Ⅰ)求Sn
(Ⅱ)设cn=an+8n+3,数列{dn}满足d1=c1(n∈N*).求数列{dn}的通项公式;
(Ⅲ)设g(x)是定义在正整数集上的函数,对于任意的正整数x1、x2,恒有g(x1x2)=x1g(x2)+x2g(x1)成立,且g(2)=a(a为常数,且a≠0),记,试判断数列{bn}是否为等差数列,并说明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)由题意可知{an}是以a1=-8为首项公差为-6的等差数列.由此可以求得Sn=-3n2-5n.
(Ⅱ)由cn=an+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1(n∈N*),=2dn+1,可知dn+1+1=2(dn+1)(n∈N*).再由d1=c1=3,可知{dn+1}是首项为d1+1=4,公比为2的等比数列.由此能够求得dn=2n+1-1.
(Ⅲ)解法一:由题意可知.由此可知数列{bn}是等差数列.
解法二:因为g(x1x2)=x1g(x2)+x2g(x1)成立,且g(2)=a,故=an•2n-1,由此可知.因此,数列{bn}是等差数列.
解答:解:(Ⅰ)由已知an=-6n-2,故{an}是以a1=-8为首项公差为-6的等差数列.
所以Sn=-3n2-5n.
(Ⅱ)因为cn=an+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1(n∈N*),=2dn+1,因此dn+1+1=2(dn+1)(n∈N*).
由于d1=c1=3,
所以{dn+1}是首项为d1+1=4,公比为2的等比数列.
故dn+1=4×2n-1=2n+1,所以dn=2n+1-1.
(Ⅲ)解法一:
=+,bn+1=+.
因为a为常数,则数列{bn}是等差数列.
解法二:因为g(x1x2)=x1g(x2)+x2g(x1)成立,且g(2)=a,
=2n-1g(2)+2[2n-2g(2)+2g(2n-2)]=2×2n-1g(2)+22g(2n-2)=2×2n-1g(2)+22[2n-3g(2)+2g(2n-3)]=3×2n-1g(2)+23g(2n-3)═(n-1)×2n-1g(2)+2n-1g(2)=n•2n-1g(2)=an•2n-1
所以=

由已知a为常数,因此,数列{bn}是等差数列.
点评:本题考查数列的性质及其综合运用,具有一定的难度,解题时认真审题,仔细解答.
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