Question

已知点（n，a_n）（n∈N^*）在函数f（x）=-2x-2的图象上，数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n是6S_n与8n的等差中项．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=b_n+8n+3，数列{d_n}满足d₁=c₁，dn+1=cdn（n∈N*）．求数列{d_n}的前n项和D_n；
（3）设g（x）是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数x₁，x₂，恒有g（x₁x₂）=x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（2）=a（a为常数，a≠0），试判断数列{

g( dn+1 2 )

dn+1

}是否为等差数列，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题考查求数列的通项公式，用数列的前n项和求是列的通项公式，注意对于第一项的验证，又根据等比中项解决问题，这一道题目比较困难，第一问考查的内容较多．
（2）构造新数列，构造数列时按照一般的方式来整理，整理后发现结果比较简单，利用等比数列的前n项和公式求数列的和．
（3）本题证明数列是一个等差数列，应用等差数列的定义来证明，只要数列的连续两项之差是一个常数，问题得证，证明是一个常数的过程是一个数列和函数综合的过程，用到所给的函数的性质．

解答：解：（Ⅰ）依题意得a_n=-2n-2，故a₁=-4．
又2T_n=6S_n+8n，即T_n=3S_n+4n，
∴当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=3（S_n-S_n-1）+4=3a_n+4=-6n-2．
又b₁=T₁=3S₁+4=3a₁+4=-8，也适合上式，
∴b_n=-6n-2（n∈N*）．
（Ⅱ）∵c_n=b_n+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1（n∈N*），
dn+1=cdn=2d_n+1，
因此d_n+1+1=2（d_n+1）（n∈N*）．
由于d₁=c₁=3，
∴{d_n+1}是首项为d₁+1=4，公比为2的等比数列．
故d_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴d_n=2ⁿ⁺¹-1．
D_n=（2²+2³++2ⁿ⁺¹）-n=

4(2n-1)

2-1

-n=2n+2-n-4．
（Ⅲ）g(

dn+1

2

)=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)
则

g( dn+1 2 )

dn+1

=

g(2n)

2n+1

=

2n-1g(2)+2g(2n-1)

2n+1

=

a

4

+

g(2n-1)

2n

=

a

4

+

g( dn-1+1 2 )

dn-1+1

∴

g( dn+1 2 )

dn+1

-

g( dn-1+1 2 )

dn-1+1

=

a

4

因为已知a为常数，则数列{

g( dn+1 2 )

dn+1

}是等差数列．

点评：本题是一道综合题，数列的递推关系式往往比通项公式还重要，我们要重视数列的递推关系式，依据递推关系式的特点，选择恰当的方法，达到解决问题的目的．