Question

设实数m，n，x，y满足m²+n²=3，x²+y²=4，则mx+ny的最大值为

2

3

．

Answer 1

分析：根据所给的式子利用三角函数的平方关系进行换元，代入所求的式子，然后利用两角和的余弦公式进行化简，再由余弦函数的值域求出最大值．

解答：解：∵m²+n²=3，x²+y²=4，
∴设

m= 3 sinα n= 3 cosα

，

x=2sinβ y=2cosβ

，
∴mx+ny=2

3

（sinαsinβ+cosαcosβ）=2

3

cos（α-β），
∵-1≤cos（α-β）≤1，∴所求的最大值是2

3

，
故答案为：2

3

．

点评：本题主要考查了利用换元法求最值，利用三角函数的平方关系进行换元，再由两角和（差）的余弦公式、余弦函数的值域进行求解，属于基础题．