题目内容
设函数f(x)定义在R上,对于任意实数m、n,恒有f(m+n)=f(m)?f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证:f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1;
(2)设集合A={(x,y)|f(x2)?f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=∅,求a的取值范围.
(1)求证:f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1;
(2)设集合A={(x,y)|f(x2)?f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=∅,求a的取值范围.
分析:(1)令m=1,n=0,可求得f(1)=f(1)•f(0),依题意,当x>0时,0<f(x)<1即可证得f(0)=1,再令m=x,n=-x,结合当x<0时,f(x)>1即可证得当x<0时,f(x)>1;
(2)先利用函数的单调性的定义判断函数f(x)在R上是单调递减的,再理清集合A与集合B表示的点集,最后由A∩B=∅,利用图形间的几何意义可求a的取值范围.
(2)先利用函数的单调性的定义判断函数f(x)在R上是单调递减的,再理清集合A与集合B表示的点集,最后由A∩B=∅,利用图形间的几何意义可求a的取值范围.
解答:解:(1)令m=1,n=0,得f(1)=f(1)•f(0)
又当x>0时,0<f(x)<1,所以f(0)=1
设x<0,则-x>0
令m=x,n=-x,则f(0)=f(x)•f(-x)
所以f(x)•f(-x)=1
又0<f(-x)<1,所以f(x)=
>1
(2)设x1、x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0
所以0<f(x2-x1)<1,从而f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)•f(x1),
又由已知条件及(1)的结论知f(x)>0恒成立
所以
=f(x2-x1),所以0<
<1,
所以f(x2)<f(x1),故f(x)在R上是单调递减的.
由f(x2)•f(y2)>f(1)得:f(x2+y2)>f(1),
因为f(x)在R上单调递减,所以x2+y2<1,即A表示圆x2+y2=1的内部,
由f(ax-y+2)=1=f(0)得:ax-y+2=0
所以B表示直线ax-y+2=0,
所以A∩B=∅,所以直线与圆相切或相离,即
≥1
解得:-
≤a≤
.
又当x>0时,0<f(x)<1,所以f(0)=1
设x<0,则-x>0
令m=x,n=-x,则f(0)=f(x)•f(-x)
所以f(x)•f(-x)=1
又0<f(-x)<1,所以f(x)=
1 |
f(-x) |
(2)设x1、x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0
所以0<f(x2-x1)<1,从而f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)•f(x1),
又由已知条件及(1)的结论知f(x)>0恒成立
所以
f(x2) |
f(x1) |
f(x2) |
f(x1) |
所以f(x2)<f(x1),故f(x)在R上是单调递减的.
由f(x2)•f(y2)>f(1)得:f(x2+y2)>f(1),
因为f(x)在R上单调递减,所以x2+y2<1,即A表示圆x2+y2=1的内部,
由f(ax-y+2)=1=f(0)得:ax-y+2=0
所以B表示直线ax-y+2=0,
所以A∩B=∅,所以直线与圆相切或相离,即
2 | ||
|
解得:-
3 |
3 |
点评:本题考查抽象函数及其应用,突出考查函数的单调性的定义判断及集合A与集合B表示的点集的几何意义,考查直线与圆的位置关系,考查转化思想与运算能力,属于难题.
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