题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
和圆
.
(1)若直线过点
,且被圆
截得的弦长为
是,求直线
的方程;
(2)设为平面上的点,满足:存在过点
的无穷多对互相垂直的直线
和
,它们分别与圆
和圆
相交,且直线
与被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等,试求所有满足条件的点
的坐标.
【答案】(1)或
;(2)
或点
.
【解析】
试题分析:(1)直线过点
,故可以设出直线
的点斜式方程,根据圆的几何性质、点到直线距离公式及勾股定理到一个关于直线斜率
的方程,解方程求出
值即可;(2)由于两直线斜率为之积为
,可以设出过
点的直线
与
的点斜式方程,由直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等,可以得到一个关于直线斜率的方程,由方程恒成立可得关于
的方程组,求得
的值即可.
试题解析:(1)由于直线与圆
不相交,所以直线
的斜率存在,设
直线的方程为
,圆
的圆心
到直线
的距离为
,
∵直线被圆
截得的弦长为
,
∴,∴
,即
或
,
所以直线的方程为
或
;
(2)设点满足条件,不妨设直线
的方程为
,
,则直线
的方程为
,因为
和
的半径相等,
及直线被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等,所以圆
的圆心到直线
的距离和圆
的圆心到直线
的距离相等,即
,
整理得:,
∴或
,
即或
.
因为的取值有无穷多个,所以
,或
,解得
或
,
这样点只可能是点
或点
,经检验点
和
满足题目条件.
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