Question

（2013•温州二模）己知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2．当n≥2时．S_n-1+l，a_n．S_n+1成等差数列．
（I）求证：{S_n+1}是等比数列：
（II）求数列{na_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（I）由题意可得2a_n=s_n+s_n-1+2，结合a_n=s_n-s_n-1可得s_n与s_n-1之间的递推关系，进而可证明
（II）由（I）可求s_n+1，进而可求s_n，然后利用a_n=s_n-s_n-1可求a_n，然后利用错位相减可求T_n

解答：（I）证明：∵S_n-1+l，a_n．S_n+1成等差数列
∴2a_n=s_n+s_n-1+2…（2分）
∴2（s_n-s_n-1）=s_n+s_n-1+2 即s_n=3s_n-1+2 …（4分）
∴s_n+1=3（s_n-1+1），n≥2…（6分）
∴{s_n+1}是首项为s₁+1=3，公比为3的等比数列…（7分）
（II）解：由（I）可知sn+1=3n
∴sn=3n-1…（9分）
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2•3^n-1
又∵a₁=3
∴an=2•3n-1…（11分）
∴Tn=2+4•3+6•32+…+2(n-1)•3n-2+2n•3^n-1         （1）
3Tn=2•3+4•32+…+(2n-1)•3n-1+2n•3ⁿ   （2）
（1）-（2）得：
-2T_n=2+2•3+2•3²+…+2•3^n-1-2n•3ⁿ
=

2(1-3n)

1-3

-2n•3ⁿ
=3ⁿ-1-2n•3ⁿ
∴Tn=

(2n-1)•3n+1

2

…（14分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项，数列的错位相减求和方法的综合应用