Question

2．在数列{a_n}中，已知a₁=1，${a_{n+1}}=-\frac{1}{{{a_n}+1}}$，记S_n为数列{a_n}的前n项和，则S₂₀₁₅=-1006．

Answer 1

分析 a₁=1，${a_{n+1}}=-\frac{1}{{{a_n}+1}}$，可得a₂=-$\frac{1}{2}$，a₃=-2，a₄=1，…，a_n+3=a_n．利用周期性即可得出．

解答 解：∵a₁=1，${a_{n+1}}=-\frac{1}{{{a_n}+1}}$，
∴${a}_{2}=-\frac{1}{{a}_{1}+1}$=-$\frac{1}{2}$，a₃=-2，a₄=1，…，
∴a_n+3=a_n．
∴a₁+a₂+a₃=-$\frac{3}{2}$．
S₂₀₁₅=671（a₁+a₂+a₃）+a₁+a₂=-$\frac{3}{2}$×671+$\frac{1}{2}$=-1006．
故答案为：-1006．

点评 本题考查了递推关系的应用、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．