Question

定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=2，且当a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有．
（1）试问函数f（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由并加以证明．
（2）若对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）详见解析；（2）

解析试题分析：（1）假设函数的图象上存在两个不同的点，使直线恰好与轴垂直，设的横坐标为,且,然后证得；推出函数在上是增函数，这与这与假设矛盾，可得假设不成立，命题得证．
（2）由题意可得函数的最大值小于或等于，结合（1）的过程，可求出其最大值，即整理的：．令关于的一次函数g（a）=m²+2am，则有，由此求得m的范围．

试题解析：解：（1）假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直， 则A、B两点的纵坐标相同，设它们的横坐标分别为 x1和x2，且x1＜x2． 则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=[x1+（﹣x2）]． 由于 ＞0，且[x1+（﹣x2）]＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0， 故函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数． 这与假设矛盾，故假设不成立，即 函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直． （2）由于 对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立， ∴故函数f（x）的最大值小于或等于2（m2+2am+1）． 由于由（1）可得，函数f（x）是[﹣1，1]的增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）=2， ∴2（m2+2am+1）≥2，即 m2+2am≥0． 令关于a的一次函数g（a）=m2+2am，则有 ， 解得 m≤﹣2，或m≥2，或 m=0，故所求的m的范围是{m|m≤﹣2，或m≥2，或 m=0}．

考点：1.反证法；2.函数的恒成立问题.