题目内容

【题目】已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆,离心率为且过点,过定点的动直线与该椭圆相交于两点.

1若线段中点的横坐标是,求直线的方程;

2轴上是否存在点,使为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】12

【解析】

试题分析:1椭圆的离心率公式,及的关系,求得,得到椭圆的方程;设出直线的方程,将直线方程代入椭圆,用舍而不求和韦达定理方法表示出中点坐标,此时代入已知中点的横坐标,即可求出直线的方程;2假设存在点,使为常数,分别分当轴不垂直时以及当直线轴垂直时,求出点的坐标,最后综合两种情况得出结论.

试题解析:1易求椭圆的方程为

直线斜率不存在时显然不成立,设直线

代入椭圆的方程

消去整理得

,则

因为线段的中点的横坐标为,解得

所以直线的方程为

2假设在轴上存在点,使得为常数,

当直线轴不垂直时,由1

所以

因为是与无关的常数,从而有

此时

当直线轴垂直时,此时结论成立,

综上可知,在轴上存在定点,使,为常数

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