题目内容
10.已知$\overrightarrow{m}$=(sinA,$\frac{1}{2}$)与$\overrightarrow{n}$=(3,sinA+$\sqrt{3}$cosA)共线,其中A为△ABC的内角.(1)求角A;
(2)若a=$\sqrt{3}$,S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,求边长b和角B的大小.
分析 (1)根据向量平行得出角2A的等式,然后根据两角和差的正弦公式和A为三角形内角这个条件得到A.
(2)由(1)及余弦定理可得:3=b2+c2-bc,①又由三角形面积公式可得bc=2,②,利用①②可解得b,由正弦定理可得sinB,结合B的范围即可得解.
解答 解:(1)因为 $\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$,所以sinA•(sinA+$\sqrt{3}$cosA)-$\frac{3}{2}$=0;
所以 $\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A=0,
整理得 $\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{1}{2}$cos2A=1,
即sin(2A-$\frac{π}{6}$)=1.
因为A∈(0,π),所以2A-$\frac{π}{6}$∈(-$\frac{π}{6}$,$\frac{11π}{6}$).
故2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$,A=$\frac{π}{3}$.
(2)因为a=$\sqrt{3}$,由(1)及余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得:3=b2+c2-bc,①
又因为S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=bc×$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,可得bc=2,②,
利用①②可解得:b=1或2.
由正弦定理可得:sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{1}{2}$,或1,
因为:0<B<π,
故可解得:B=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$(舍去),或$\frac{π}{2}$.
点评 本题是中档题,考查向量的平行关系的应用,三角函数的二倍角公式、两角差正弦函数的应用,考查解三角形的面积,正弦定理,余弦定理等知识,考查计算能力.
A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{2}$ | D. | $\frac{2π}{3}$ |