题目内容

已知等比数列{a_n}，S_n是其前n项的和，且a₁+a₃=5，S₄=15．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设 $数学公式$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n
（III）比较（II）中T_n与 $数学公式$ （n=1，2，3…）的大小，并说明理由．

解：（I）设数列{a_n}的公比为q，则
方法一：a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5，S₄-（a₁+a₃）=a₂+a₄=a₁q（1+q²）=10
∴q=2，a₁=1，则a_n=2^n-1
方法二：易知q≠1，则a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5 $\text{[math]}$ ，
则1+q=3
（以下同方法一）
（II）由（I）可得， $\text{[math]}$ ，
所以数列{b_n}是一个以 $\text{[math]}$ 为首项，1为公差的等差数列
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
（III）∵ $\text{[math]}$
∴当n=1、2时， $\text{[math]}$ ，即T_n= $\text{[math]}$
当n≥3时， $\text{[math]}$ ，即T_n＜ $\text{[math]}$
分析：（I）设{a_n}的公比为q，则由题意知a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5，S₄-（a₁+a₃）=a₂+a₄=a₁q（1+q²）=10，由此可知a_n=2^n-1．
（II）由题意知， $\text{[math]}$ ，由此可知 $\text{[math]}$ ．
（III）由 $\text{[math]}$ 知当n=1、2时，T_n= $\text{[math]}$ ；当n≥3时T_n＜ $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列的综合应用，解题时要注意审题，仔细解答．