题目内容
已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．
(1) 用向量法证明：E ，F ，G ，H 四点共面．
(2) 用向量法证明：BD ∥平面EFGH ，
(3) 设M 是EG 和FH 的交点，求证：对于空间任意一点O，有
(2) 用向量法证明：BD ∥平面EFGH ，
(3) 设M 是EG 和FH 的交点，求证：对于空间任意一点O，有
证明：(1) 如图所示，连结BG ，则
由共面向量基本定理的推论可知E，F，G，H四点共面．
∴EH∥BD.
∵EH
平面EFGH，BD
平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
(3)连结OM、OA、OB、OC、OD、OE、OG，
由(2)可知
，
同理
，
所以
，
同理可得
∴EG、FH交于点M且被M平分，
∴
由共面向量基本定理的推论可知E，F，G，H四点共面．
∴EH∥BD.
∵EH
平面EFGH，BD平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.
(3)连结OM、OA、OB、OC、OD、OE、OG，
由(2)可知
，同理
，所以
，同理可得
∴EG、FH交于点M且被M平分，
∴
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