Question

已知双曲线与椭圆

x2

4

+y2=1共焦点，它们的离心率之和为

3 3

2

；
（1）求椭圆与双曲线的离心率e₁、e₂；
（2）求双曲线的标准方程与渐近线方程；
（3）已知直线l：y=

1

2

x+m与椭圆有两个交点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）椭圆

x2

4

+y2=1中，由a=2，c=

3

，能求出椭圆离心率e₁，由双曲线与椭圆离心率之和为

3 3

2

，能求出双曲线的离心率e₂．
（2）由椭圆

x2

4

+y2=1焦点为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），双曲线与椭圆

x2

4

+y2=1共焦点，知双曲线的焦点为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），再由双曲线的离心率e₂=

3

．能求出双曲线的标准方程和渐近线方程．
（3）由

x2 4 +y2=1 y= 1 2 x+m

，得2x²+4mx+4m²-4=0，直线l：y=

1

2

x+m与椭圆有两个交点，知△=（4m）²-8（4m²-4）＞0，由此能求出m的取值范围．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

4

+y2=1中，
a=2，c=

3

∴椭圆离心率e₁=

3

2

．
∵双曲线与椭圆

x2

4

+y2=1的离心率之和为

3 3

2

，
∴双曲线的离心率e₂=

3 3

2

-

3

2

=

3

．
（2）∵椭圆

x2

4

+y2=1焦点为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
双曲线与椭圆

x2

4

+y2=1共焦点，
∴双曲线的焦点为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
∵双曲线的离心率e₂=

3

．
∴双曲线的标准方程为x2-

y2

2

=1，
∴双曲线的渐近线方程为y=±

2

x．
（3）由

x2 4 +y2=1 y= 1 2 x+m

，得2x²+4mx+4m²-4=0，
∵直线l：y=

1

2

x+m与椭圆有两个交点，
∴△=（4m）²-8（4m²-4）＞0，
解得-

2

＜m＜

2

．
故m的取值范围是（-

2

，

2

）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．