题目内容

6．椭圆的一个顶点为M（0，$\sqrt{3}$），焦点在x轴上，若右焦点到直线x-y+1=0的距离为$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设n是过原点的直线，直线l与n垂直相交于点P且与椭圆相交于A、B两点，|$\overrightarrow{OP}$|=1，是否存在上述直线l使$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

分析 （1）设出椭圆方程，可得b=3，运用点到直线的距离公式，计算可得c=1，再由a，b，c的关系可得a，进而得到椭圆方程；
（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．假设使$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=1成立的直线l存在．①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且|$\overrightarrow{OP}$|=1．得m2=k2+1．解方程即可得到不存在，②当l垂直于x轴时，则n为x轴，P点坐标为（1，0），A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$）．符合题意的直线l不存在．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
则b=$\sqrt{3}$，设右焦点F（c，0），
则d=$\frac{|c+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得c=1，
则a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
假设使$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=1成立的直线l存在．
①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，
由l与n垂直相交于P点且|$\overrightarrow{OP}$|=1．
得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m2=k2+1．①
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$=1，|$\overrightarrow{OP}$|=1．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{PA}$）•（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{PB}$）
=${\overrightarrow{OP}}^{2}$+$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{PB}$=1-1+0=0，
即有$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
 即x1x2+y1y2=0．
将y=kx+m代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
∵l与C有两个交点，
k≠0，x1+x2=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．②
∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）
=（1+k2）x1x2+km （x1+x2）+m2=0．③
将②代入③得（1+k2）•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+km•$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$+m2=0．
化简，得7m2=12（1+k2）．④
∵|$\overrightarrow{OP}$|=1，
∴m≠0  
由①、④得，m=0不成立．
②当l垂直于x轴时，
则n为x轴，P点坐标为（1，0），A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$）．
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（0，-$\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{9}{4}$≠1，不合题意．
综上，不存在上述直线l使$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=1成立．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的焦点和顶点，以及椭圆方程和直线方程联立，运用韦达定理，和平面向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题和易错题．

练习册系列答案
相关题目
16．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率是（　　）
A．$\frac{π}{4}$B．$\frac{π}{8}$C．$\frac{π}{16}$D．$\frac{π}{32}$
17．已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x）．若方程f（x）=0有2015个实数根，则这2015个实数根之和为0．
14．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），曲线C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosβ}\\{y=2+2sinβ}\end{array}\right.$（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求C1和C2的极坐标方程；
（2）已知射线l1：θ=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），将l1逆时针旋转$\frac{π}{6}$得到l2：θ=α+$\frac{π}{6}$，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取最大值时点P的极坐标．
1．两条不重合的直线a，b和平面α，则“a⊥α，b⊥α”是“a∥b”的（　　）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．已知a＞0，a≠1，a0.6＜a0.4，设m=0.6loga0.6，n=0.4loga0.6，p=0.6loga0.4，则（　　）
A．p＞n＞mB．p＞m＞nC．n＞m＞pD．m＞p＞n
18．已知实数a，b满足log2a+log2b=1，则ab=2，（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{2}{b}$）的最小值是3+2$\sqrt{2}$．
15．若sin（$\frac{π}{6}$-α）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，则cos（$\frac{2π}{3}$+2α）=（　　）
A．-$\frac{5}{9}$B．$\frac{5}{9}$C．-$\frac{7}{9}$D．$\frac{7}{9}$
16．设P是直线x+y-4=0上的一个动点，过P作圆x2+y2=1的切线，切点为A，则切线PA长的最小值为$\sqrt{7}$．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网