Question

14．已知函数f（x）=x²-2ax+2（a∈R）．
（1）若函数f（x）在（-∞，2）上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在[-1，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的单调性可得a≥2；
（2）配方，分类讨论，求出函数的最小值、最大值，即可求函数f（x）在[-1，2]上的值域．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-2ax+2在（-∞，2）上单调递减，
∴a≥2；
（2）f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²-a²+2．
①当a∈（-∞，-1）时，f（x）在[-1，2）上单调递增，f（x）_min=f（-1）=2a+3，f（x）_max=f（2）=6-4a，
∴值域[2a+3，6-4a]；
②当a∈[-1，0.5）时，f（x）_min=f（a）=2-a²，f（x）_max=f（2）=6-4a，∴值域[2-a²，6-4a]；
③当a∈[0.5，2]时，f（x）_min=f（a）=2-a²，f（x）_max=f（-1）=2a+3，∴值域[2-a²，2a+3]；
④当a∈（2，+∞）时，f（x）_min=f（2）=6-4a，f（x）_max=f（-1）=2a+3，∴值域[6-4a，2a+3]．

点评 本题考查了二次函数的单调性、值域，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．