题目内容
【题目】已知为等差数列,为等比数列,公比为.令.
(1)若.
①当,求数列的通项公式;
②设,,试比较与的大小?并证明你的结论.
(2)问集合中最多有多少个元素?并证明你的结论.
【答案】(1)①;②,证明见解析;(2)3个,证明见解析.
【解析】
(1)①利用数列基本量,结合已知条件,即可容易求得结果;
②用作差法,结合代数运算,即可证明和判断;
(2)将问题转化为有多少个解的问题,构造函数,利用导数判断函数单调性,从而问题得解.
(1)由,得,.
设数列公差为,数列公比为,由,故.
①因为,,,所以数列的公比,所以,.
②答:.证明如下:
因为,,,所以
.
所以.
(2)不妨设,,由.
令,,,原问题转化为关于的方程
,①
最多有多少个解.
下面我们证明:当时,方程①最多有2个解;时,方程②最多有3个解.
当时,考虑函数,则,
如果,则为单调函数,故方程①最多只有一个解;
如果,且不妨设由得有唯一零点,
于是当时,恒大于0或恒小于0,
当时,恒小于0或恒大于0,
这样在区间与上是单调函数,
故方程①最多有2个解.
当时,如果.
如果为奇数,则方程①变为,
显然方程最多只有一个解,即最多只有一个奇数满足方程①.
如果为偶数,则方程①变为
,由的情形,上式最多有2个解,
即满足①的偶数最多有2个.
这样,最多有3个正数满足方程①.
对于,同理可以证明,方程①最多有3个解.
综上所述,集合中的元素个数最多有3个.
再由当,,则,,,.
由此,可知集合中的元素个数最多有3个.
【题目】2020年春,新型冠状病毒在我国湖北武汉爆发并讯速蔓延,病毒传染性强并严重危害人民生命安全,国家卫健委果断要求全体人民自我居家隔离,为支援湖北武汉新型冠状病毒疫情防控工作,各地医护人员纷纷逆行,才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社区为保障居民的生活不受影响,由社区志愿者为其配送蔬菜、大米等生活用品,记者随机抽查了男、女居民各100名对志愿者所买生活用品满意度的评价,得到下面的2×2列联表.
特别满意 | 基本满意 | |
男 | 80 | 20 |
女 | 95 | 5 |
(1)被调查的男性居民中有5个年轻人,其中有2名对志愿者所买生活用品特别满意,现在这5名年轻人中随机抽取3人,求至多有1人特别满意的概率.
(2)能否有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异?
附: