题目内容

【题目】已知为等差数列,为等比数列,公比为..

1)若.

①当,求数列的通项公式;

②设,试比较的大小?并证明你的结论.

2)问集合中最多有多少个元素?并证明你的结论.

【答案】1)①;②,证明见解析;(23个,证明见解析.

【解析】

1)①利用数列基本量,结合已知条件,即可容易求得结果;

②用作差法,结合代数运算,即可证明和判断;

(2)将问题转化为有多少个解的问题,构造函数,利用导数判断函数单调性,从而问题得解.

1)由,得.

设数列公差为,数列公比为,由,故.

①因为,所以数列的公比,所以,.

②答:.证明如下:

因为,所以

.

所以.

2)不妨设,由.

,原问题转化为关于的方程

,①

最多有多少个解.

下面我们证明:当时,方程①最多有2个解;时,方程②最多有3个解.

时,考虑函数,则

如果,则为单调函数,故方程①最多只有一个解;

如果,且不妨设由有唯一零点

于是当时,恒大于0或恒小于0

时,恒小于0或恒大于0

这样在区间上是单调函数,

故方程①最多有2个解.

时,如果.

如果为奇数,则方程①变为

显然方程最多只有一个解,即最多只有一个奇数满足方程①.

如果为偶数,则方程①变为

,由的情形,上式最多有2个解,

即满足①的偶数最多有2.

这样,最多有3个正数满足方程①.

对于,同理可以证明,方程①最多有3个解.

综上所述,集合中的元素个数最多有3.

再由当,则.

由此,可知集合中的元素个数最多有3.

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