题目内容
【题目】已知
为等差数列，
为等比数列，公比为
.令
.
（1）若
.
①当
，求数列的通项公式；
②设
，
，试比较
与
的大小？并证明你的结论.
（2）问集合
中最多有多少个元素？并证明你的结论.
【答案】（1）①
；②
，证明见解析；（2）3个，证明见解析.
【解析】
（1）①利用数列基本量，结合已知条件，即可容易求得结果；
②用作差法，结合代数运算，即可证明和判断；
（2）将问题转化为
有多少个解的问题，构造函数，利用导数判断函数单调性，从而问题得解.
（1）由
，得
，
.
设数列
公差为
，数列
公比为
，由
，故
.
①因为
，
，
，所以数列的公比
，所以，
.
②答：
.证明如下：
因为
，
，
，所以
.
所以.
（2）不妨设
，
，由
.
令
，
，
，原问题转化为关于
的方程
，①
最多有多少个解.
下面我们证明：当时，方程①最多有2个解；
时，方程②最多有3个解.
当时，考虑函数
，则
，
如果
，则
为单调函数，故方程①最多只有一个解；
如果
，且不妨设由
得
有唯一零点
，
于是当
时，恒大于0或恒小于0，
当
时，恒小于0或恒大于0，
这样在区间
与
上是单调函数，
故方程①最多有2个解.
当时，如果
.
如果为奇数，则方程①变为
，
显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①.
如果为偶数，则方程①变为
，由的情形，上式最多有2个解，
即满足①的偶数最多有2个.
这样，最多有3个正数满足方程①.
对于
，同理可以证明，方程①最多有3个解.
综上所述，集合
中的元素个数最多有3个.
再由当
，
，则，，
，
.
由此，可知集合中的元素个数最多有3个.
能考试全能100分系列答案
【题目】2020年春，新型冠状病毒在我国湖北武汉爆发并讯速蔓延，病毒传染性强并严重危害人民生命安全，国家卫健委果断要求全体人民自我居家隔离，为支援湖北武汉新型冠状病毒疫情防控工作，各地医护人员纷纷逆行，才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社区为保障居民的生活不受影响，由社区志愿者为其配送蔬菜、大米等生活用品，记者随机抽查了男、女居民各100名对志愿者所买生活用品满意度的评价，得到下面的2×2列联表．
特别满意 | 基本满意 | |
男 | 80 | 20 |
女 | 95 | 5 |
（1）被调查的男性居民中有5个年轻人，其中有2名对志愿者所买生活用品特别满意，现在这5名年轻人中随机抽取3人，求至多有1人特别满意的概率．
（2）能否有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异？
附： 
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