题目内容
(2012•保定一模)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,直线PD与
底面ABCD所成的角等于30°,PF=FB,E∈BC,EF∥平面PAC.
(1)试求若
的值;
(2)求二面角P-DE-A的余弦值;
(3)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值.

(1)试求若
BE | EC |
(2)求二面角P-DE-A的余弦值;
(3)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值.
分析:(1)利用EF∥平面PAC,可得EF∥PC,根据PF=FB,可知BE=EC;
(2)以A为坐标原点,分别以AD,AB,AP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,求出平面PDE的法向量、平面ADE的法向量,利用向量的夹角公式即可求得二面角P-DE-A的平面角;
(3)求出
=(
,1,-1),平面PDE的法向量为
=(
,
,1),利用向量的夹角公式即可求得直线PC与平面PDE所成角的正弦值.
(2)以A为坐标原点,分别以AD,AB,AP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,求出平面PDE的法向量、平面ADE的法向量,利用向量的夹角公式即可求得二面角P-DE-A的平面角;
(3)求出
PC |
3 |
n |
| ||
3 |
1 |
2 |
解答:解:(1)∵平面PBC∩平面PAC=PC,EF?平面PBC,EF∥平面PAC
∴EF∥PC
∵PF=FB,
∴BE=EC,即
=1
(2)以A为坐标原点,分别以AD,AB,AP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系
∵PA⊥平面ABCD,PA=AB=1
∴直线PD与底面ABCD所成的角为∠PDA=30°,
∴AD=
则P(0,0,1),B(0,1,0),C(
,1,0),E(
,1,0)
∴
=( -
,1,0),
=(
,1,-1)
设平面PDE的法向量为
=(x,y,z),∴
•
=0,
•
=0
∴
,∴取z=1,可得
=(
,
,1)
又平面ADE的法向量为
=(0,0,1)
设二面角P-DE-A的平面角为θ,则cosθ=
=
(3)∵C(
,1,0),∴
=(
,1,-1)
设直线PC与平面PDE所成角为α
∵平面PDE的法向量为
=(
,
,1)
∴sinα=
=
∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值为
∴EF∥PC
∵PF=FB,
∴BE=EC,即
BE |
EC |
(2)以A为坐标原点,分别以AD,AB,AP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系
∵PA⊥平面ABCD,PA=AB=1

∴直线PD与底面ABCD所成的角为∠PDA=30°,
∴AD=
3 |
则P(0,0,1),B(0,1,0),C(
3 |
| ||
2 |
∴
DE |
| ||
2 |
PE |
| ||
2 |
设平面PDE的法向量为
n |
n |
DE |
n |
PE |
∴
|
n |
| ||
3 |
1 |
2 |
又平面ADE的法向量为
m |
设二面角P-DE-A的平面角为θ,则cosθ=
| ||||
|
|
2
| ||
19 |
(3)∵C(
3 |
PC |
3 |
设直线PC与平面PDE所成角为α
∵平面PDE的法向量为
n |
| ||
3 |
1 |
2 |
∴sinα=
| ||||
|
|
| ||
95 |
∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值为
| ||
95 |
点评:本题考查线面平行的性质,考查面面角,线面角,利用空间向量,熟练掌握线面平行的性质是关键.

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