题目内容

(2012•保定一模)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,直线PD与底面ABCD所成的角等于30°,PF=FB,E∈BC,EF∥平面PAC.
(1)试求若
BEEC
的值;
(2)求二面角P-DE-A的余弦值;
(3)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值.
分析:(1)利用EF∥平面PAC,可得EF∥PC,根据PF=FB,可知BE=EC;
(2)以A为坐标原点,分别以AD,AB,AP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,求出平面PDE的法向量、平面ADE的法向量,利用向量的夹角公式即可求得二面角P-DE-A的平面角;
(3)求出
PC
=(
3
,1,-1)
,平面PDE的法向量为
n
=(
3
3
1
2
,1)
,利用向量的夹角公式即可求得直线PC与平面PDE所成角的正弦值.
解答:解:(1)∵平面PBC∩平面PAC=PC,EF?平面PBC,EF∥平面PAC
∴EF∥PC
∵PF=FB,
∴BE=EC,即
BE
EC
=1

(2)以A为坐标原点,分别以AD,AB,AP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系
∵PA⊥平面ABCD,PA=AB=1
∴直线PD与底面ABCD所成的角为∠PDA=30°,
∴AD=
3

则P(0,0,1),B(0,1,0),C(
3
,1,0),E(
3
2
,1,0

DE
=( -
3
2
,1,0)
PE
=(
3
2
,1,-1)

设平面PDE的法向量为
n
=(x,y,z)
,∴
n
DE
=0
n
PE
=0

-
3
2
x+y=0
3
2
x+y+z=0
,∴取z=1,可得
n
=(
3
3
1
2
,1)

又平面ADE的法向量为
m
=(0,0,1)

设二面角P-DE-A的平面角为θ,则cosθ=
n
m
|
n
||
m
|
=
2
57
19

(3)∵C(
3
,1,0),∴
PC
=(
3
,1,-1)

设直线PC与平面PDE所成角为α
∵平面PDE的法向量为
n
=(
3
3
1
2
,1)

sinα=
n
PC
|
n
||
PC
|
=
285
95

∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值为
285
95
点评:本题考查线面平行的性质,考查面面角,线面角,利用空间向量,熟练掌握线面平行的性质是关键.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网