题目内容
已知动点P与平面上两定点A(-
,0),B(
,0)连线的斜率的积为定值-
.
(Ⅰ)试求动点P的轨迹方程C;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M、N两点,
①当|MN|=
时,求直线l的方程.
②线段MN上有一点Q,满足
=
,求点Q的轨迹方程.
2 |
2 |
1 |
2 |
(Ⅰ)试求动点P的轨迹方程C;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M、N两点,
①当|MN|=
4
| ||
3 |
②线段MN上有一点Q,满足
MQ |
1 |
2 |
MN |
(Ⅰ)设点P(x,y),则根据题意,有
•
=-
,整理得
+y2=1.由于x≠±
,
所以求得的曲线C的方程为
+y2=1(x≠±
).
(Ⅱ)设点M、N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由
消去y得:(1+2k2)x2+4kx=0.
①解得x1=0,x2=
.
由|MN|=
|x1-x2|=
|
|=
,解得:k=±1.
∴直线l的方程x-y+1=0或x+y-1=0;
②设点Q的坐标为(x,y),
∵
=
,
∴点Q为线段MN的中点,可得x=
=
,
∴y=kx+1=k•
+1=
,
消去k,得方程:x2+2y2-2y=0.
因曲线C的方程为
+y2=1(x≠±
),故直线不过点(±
,0),即k≠±
又∵直线l:y=kx+1与曲线C交于M、N两点,
∴△=(-4k)2>0,即k≠0,
因此,x≠0,且x≠±
,
综上,所求点Q的轨迹方程为x2+2y2-2y=0(x≠0,且x≠±
).
y | ||
x+
|
y | ||
x-
|
1 |
2 |
x2 |
2 |
2 |
所以求得的曲线C的方程为
x2 |
2 |
2 |
(Ⅱ)设点M、N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由
|
①解得x1=0,x2=
-4k |
1+2k2 |
由|MN|=
1+k2 |
1+k2 |
4k |
1+2k2 |
4 |
3 |
2 |
∴直线l的方程x-y+1=0或x+y-1=0;
②设点Q的坐标为(x,y),
∵
MQ |
1 |
2 |
MN |
∴点Q为线段MN的中点,可得x=
x1+x2 |
2 |
-2k |
1+2k2 |
∴y=kx+1=k•
-2k |
1+2k2 |
1 |
1+2k2 |
消去k,得方程:x2+2y2-2y=0.
因曲线C的方程为
x2 |
2 |
2 |
2 |
| ||
2 |
又∵直线l:y=kx+1与曲线C交于M、N两点,
∴△=(-4k)2>0,即k≠0,
因此,x≠0,且x≠±
| ||
2 |
综上,所求点Q的轨迹方程为x2+2y2-2y=0(x≠0,且x≠±
| ||
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