题目内容
已知动点P与平面上两定点A(-1,0),B(1,0)连线的斜率的积为定值-2.
(1)试求动点P的轨迹方程C.
(2)设直线l:y=x+1与曲线C交于M、N两点,求|MN|
(1)试求动点P的轨迹方程C.
(2)设直线l:y=x+1与曲线C交于M、N两点,求|MN|
分析:(1)设出点P(x,y),表示出两线的斜率,利用其乘积为-2,建立方程化简即可得到点P的轨迹方程.
(2)将直线l:y=x+1代入曲线C方程x2+
=1,整理得3x2+2x-1=0,可求得方程的根,进而利用弦长公式可求|MN|.
(2)将直线l:y=x+1代入曲线C方程x2+
y2 |
2 |
解答:解:(1)设P(x,y),则kPA=
,kPB=
∵动点p与定点A(-1,0),B(1,0)的连线的斜率之积为-2,
∴kPA×kPB=-2
∴
=-2,即2x2+y2=2
又x=±1时,必有一个斜率不存在,故x≠±1
综上点P的轨迹方程为x2+
=1(x≠±1)
(2)将直线l:y=x+1代入曲线C方程x2+
=1,整理得3x2+2x-1=0
∴x1=-1,x2=
∴|MN|=
|x1-x2| =
y-0 |
x+1 |
y-0 |
x-1 |
∵动点p与定点A(-1,0),B(1,0)的连线的斜率之积为-2,
∴kPA×kPB=-2
∴
y2 |
x2-1 |
又x=±1时,必有一个斜率不存在,故x≠±1
综上点P的轨迹方程为x2+
y2 |
2 |
(2)将直线l:y=x+1代入曲线C方程x2+
y2 |
2 |
∴x1=-1,x2=
1 |
3 |
∴|MN|=
2 |
4 |
3 |
2 |
点评:本题以斜率为载体,考查曲线方程的求解,关键是利用斜率公式,考查直线与椭圆的位置关系,考查了弦长公式的运用.
练习册系列答案
相关题目