题目内容
【题目】从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如图所示的频率分布直方图.
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数
和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);
②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)上的产品件数,利用①的结果,求E(X).
附:
≈12.2.
若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4.
【答案】(1)200,150(2) 0.6826, 68.26
【解析】
（1）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；
（2）①由（1）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；
②由①知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．
(1)抽取的产品质量指标值的样本平均数
和样本方差s2分别为
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.
(2)① 由(1)知,可近似认为Z~N(200,150),
从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.682 6.
②由① 知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)上的概率为0.6826,
依题意知X~B(100,0.682 6),所以E(X)=100×0.6826=68.26.
