Question

18．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$cos²x，则f（x）的最小正周期是π；如果f（x）的导函数是f′（x），则f′（$\frac{π}{6}$）=-1．

Answer 1

分析 由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．求出f′（x），可得f′（$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故函数f（x）的周期为$\frac{2π}{2}$=π，
f（x）的导函数是f′（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），故f′（$\frac{π}{6}$）=2cos$\frac{2π}{3}$=-1，
故答案为：π；-1．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换、正弦函数的周期性、求三角函数的导数，属于基础题．