题目内容
【题目】如图,四棱锥中,底面是边长为
的正方形ABCD,AC与BD的交点为O,
平面ABCD且
,E是边BC的中点,动点P在四棱锥表面上运动,并且总保持
,则动点P的轨迹的周长为( )
A.B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
分别取CD、SC的中点F、G,连接EF、FG和EG,证明平面EFG∥平面BDS,再由题意证明AC⊥平面EFG,得出点P在△EFG的三条边上,求出△EFG的周长即可.
解:分别取CD、SC的中点F、G,连接EF、FG和EG,如图所示;
则EF∥BD,EF平面BDS,BD 平面BDS
∴EF∥平面BDS
同理FG∥平面BDS
又EF∩FG=F,EF 平面EFG,FG 平面EFG,,
∴平面EFG∥平面BDS,
由AC⊥BD,AC⊥SO,且AC∩SO=O,
则AC⊥平面BDS,
∴AC⊥平面EFG,
∴点P在△EFG的三条边上;
又EF=BD=
×
×
=1,
FG=EG=SB=
×
=
,
∴△EFG的周长为EF+2FG=1+.
故选:D.
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