Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AD=1，AB=2，CD=3，F为AB中点，且EF∥AD．将梯形沿EF折起，使得平面ADEF⊥平面BCEF．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求CE与平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得DE⊥平面BCEF，进而可得BC⊥DE．结合BC⊥BE，由线面垂直的判定可得答案；
（Ⅱ）过E点作取EH⊥BD于H，连结HC．可证∠ECH是CE与平面BCD所成的角．在三角形中有已知数据可得其正弦值．

解答：证明：（Ⅰ）∵DE⊥EF，平面ADEF⊥平面BCEF，∴DE⊥平面BCEF，∴BC⊥DE．
由F为AB中点，可得BC⊥BE，又∵DE∩BE=E，
∴BC⊥平面BDE．
（Ⅱ）过E点作取EH⊥BD于H，连结HC．
∵BC⊥平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD，∴EH⊥平面BCD，
∴∠ECH是CE与平面BCD所成的角．
由DE=1， EB=

2

，得EH=

6

3

，
∴sin∠ECH=

EH

EC

=

6

6

．
∴CE与平面BCD所成角的正弦值为

6

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，属中档题．