Question

已知f(x)=lg

1-x

1+x

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）若-

1

2

＜a＜

1

2

，试比较f（a）-f（-a）与f（2a）-f（-2a）的大小．

Answer 1

分析：（1）；令

1-x

1+x

＞0即可求得函数f（x）的定义域；
（2）利用奇函数的定义即可作出正确判断；
（3）设1＞x₂＞x₁＞-1，通过作差可判断

1-x2

1+x2

与

1-x1

1+x1

的大小，从而得f（x₂）与f（x₁）的大小，可得f（x）的单调性，由（2）函数f（x）的奇偶性，f（a）-f（-a）=2f（a），f（2a）-f（-2a）=2f（2a），按0＜a＜

1

2

时，a=0，-

1

2

＜a＜0三种情况讨论，由单调性即可作出其大小比较；

解答：解：（1）由

1-x

1+x

＞0得-1＜x＜1，
所以函数f（x）的定义域为（-1，+1）．
（2）f（x）为奇函数，证明如下：
因为f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，
且f（-x）=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（3）设1＞x₂＞x₁＞-1，
则

1-x2

1+x2

-

1-x1

1+x1

=（-1+

2

1+x2

）-（-1+

2

1+x1

）
=2×

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

＜0，
∴0＜

1-x2

1+x2

＜

1-x1

1+x1

，
∴lg

1-x2

1+x2

＜lg

1-x1

1+x1

，即f（x₂）＜f（x₁），
∴函数f（x）在（-1，1）上是减函数．
由（2）知函数f（x）在（-1，1）上是奇函数，
∴f（a）-f（-a）=2f（a），f（2a）-f（-2a）=2f（2a），
∴当0＜a＜

1

2

时，2a＞a，则f（2a）＜f（a），
∴f（2a）-f（-2a）＜f（a）-f（-a）；
当a=0时，f（2a）-f（-2a）=f（a）-f（-a）；
当-

1

2

＜a＜0时，2a＜a，f（2a）＞f（a），所以f（2a）-f（-2a）＞f（a）-f（-a）．
综上，当0＜a＜

1

2

时，f（2a）-f（-2a）＜f（a）-f（-a）；当a=0时，f（2a）-f（-2a）=f（a）-f（-a）；当-

1

2

＜a＜0时，（2a）-f（-2a）＞f（a）-f（-a）．

点评：本题考查函数定义域的求解、函数奇偶性、单调性的判断及其应用，考查分类讨论思想，属中档题．