Question

已知f(x)=lg

1-x

1+x

．
（Ⅰ）求证：f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；
（Ⅱ）若f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，求f（a）和f（b）的值．

Answer 1

分析：（1）利用对数的运算性质化简要证等式的左边，结果等于等式的右边，从而证得等式成立．
（2）由已知可证f（-x）=-f（x），再由（1）得

f( a+b 1+ab )=f(a)+f(b)=1 f( a-b 1-ab )=f(a)+f(-b)=f(a)-f(b)=2

，解方程组求得f（a）和f（b）的值．

解答：解：（1）证明：∵f(x)=lg

1-x

1+x

，
∴f(x)+f(y)=lg

1-x

1+x

+lg

1-y

1+y

=lg

(1-x)(1-y)

(1+x)(1+y)

=lg

1+xy-(x+y)

1+xy+(x+y)

=lg

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=f(

x+y

1+xy

)，
∴f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

) 成立．
（2）由已知可证f（-x）=-f（x），再由（1）得

f( a+b 1+ab )=f(a)+f(b)=1 f( a-b 1-ab )=f(a)+f(-b)=f(a)-f(b)=2

，
解得f(a)=

3

2

，f(b)=-

1

2

．

点评：本题主要考查对数的运算性质的应用，求函数的值，式子的变形，是解题的关键，属于基础题．