题目内容

【题目】已知函数f(x)=ln(x+ ),
(1)判断并证明函数y=f(x)的奇偶性;
(2)判断并证明函数y=f(x)在R上的单调性;
(3)当x∈[1,2]时,不等式f(a4x)+f(2x+1)>0恒成立,求实数a的取值范围.

【答案】
(1)解:函数f(x)=ln(x+ )为奇函数.

要使函数有意义,则

的解集为R,即函数f(x)的定义域为R,

∴函数y=f(x)是奇函数


(2)解:设x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2

∵0≤x1<x2

∴f(x1)<f(x2).

∴函数y=f(x)在[0,+∞)上为增函数,

又f(x)为奇函数,

∴函数y=f(x)在R上为增函数


(3)解:不等式f(a4x)+f(2x+1)>0等价于f(a4x)>﹣f(2x+1).

∵f(﹣x)=﹣f(x),

∴f(a4x)>f(﹣2x﹣1).

函数y=f(x)在R上为增函数,

∴原不等式等价于a4x>﹣2x﹣1,

在区间[1,2]上恒成立,

只需

由复合函数的单调性知, 在区间[1,2]上为增函数.

∴当x=2时,


【解析】(1)求出函数的定义域,然后结合f(﹣x)=﹣f(x)可得函数的奇偶性;(2)直接利用函数单调性的定义证明;(3)把不等式f(a4x)+f(2x+1)>0转化为f(a4x)>﹣f(2x+1),结合函数是奇函数得到 ,由复合函数的单调性求得 在区间[1,2]上的最大值,则答案可求.
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质,掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇即可以解答此题.

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