Question

如图所示的四棱锥，SD垂直于正方形ABCD所在的底面，AB=1，SB=

3

．
（1）求证：BC⊥SC；
（2）求SB与底面ABCD所成角的正切值；
（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）以D为坐标原点建立直角坐标系，用坐标分别表示

BC

=(-1，0，0)，

SC

=(0，1，-1)，从而可得其数量积为0，故得证；
（2）用坐标表示

DS

=(0，0，1)，

BS

=(-1，-1，1)，进而可求夹角，由此可求SB与底面ABCD所成角的正切值；
（3）用坐标表示

DM

=（

2

2

，0，

2

2

），

SC

=(0，1，-1)，进而可求异面直线DM与SC所成角

解答：解：如图所示，以D为坐标原点建立直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），M（

2

2

，0，

2

2

），S（0，0，1）
（1）∵

BC

=(-1，0，0)，

SC

=(0，1，-1)
∴

BC

•

SC

=0
∴BC⊥SC；
（2）∵

DS

=(0，0，1)，

BS

=(-1，-1，1)
∴cos＜

DS

，

BS

＞=

1

3

∴SB与底面ABCD所成角的正切值为

2

2

；
（3）

DM

=（

2

2

，0，

2

2

），

SC

=(0，1，-1)
∴cos＜

DM

，

CS

＞=

2 2

2

=

1

2

∴异面直线DM与SC所成角为30°

点评：本题以四棱锥为载体，考查空间向量，考查线线垂直，考查线面角，考查线线垂直，关键是构建空间直角坐标系．