Question

如图所示，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，CD⊥面SAD．且 

1

2

CD=SA=AD=SD=AB=1．
（1）当H为SD中点时，求证：AH∥平面SBC；平面SBC⊥平面SCD．
（2）求点D到平面SBC的距离．

Answer 1

分析：（1）取SC中点G，连接HG、BG，由三角形中位线定理，H为SD的中点，可证明四边形ABGH为平行四边形，则AH∥BG，由线面平行的判定定理即可得到AH∥面SBC；由已知CD⊥面SAD，由线面垂直的判定定理可得BG⊥面SCD，最终由面面垂直的判定定理可得面SBC⊥面SCD；
（2）连接BD，设D到平面SBC的距离为h，h是三棱锥D-SBC的高，求出三角形SBC的面积，再利用换低公式和体积相等求出点D到平面SBC的距离即可．

解答：解：（1）取SC中点G，连接HG、BG．
∵H为SD的中点，∴HG

∥ .

.

1

2

CD，又AB

∥ .

.

1

2

CD．（1分）
∴AB

∥ .

.

HG．故知四边形ABGH为平行四边形．∴AH∥BG，∴AH∥面SBC．（2分）
∵CD⊥面SAD，且CD?面SCD．
∴面SCD⊥面SAD，且交线为SD．（4分）
∵SA=AD=SD且SH=HD，∴AH⊥SD．
∴AH⊥面SCD，又AH∥BG，∴BG⊥面SCD，（6分）
又BG?面SBC．∴面SBC⊥面SCD．（7分）
（2）连接BD，设D到平面SBC的距离为h，则VD-SBC=

1

3

S△SBC•h，（9分）
又V_D-SBC=V_B-SDC，∴

1

3

S△SBC•h=

1

3

S△SCD•BG．
∴BG=AH=

3

2

，S△SBC=

1

2

SC•BG=

15

4

．（11分）
∵S△SCD=

1

2

CD•SD=1，∴h=

2 5

5

．（13分）

点评：本小题主要考查直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定、点、线、面间的距离计算等基础知识，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．