题目内容
已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动，且|AB|=4
| ||
| 5 |
| OP |
| OA |
| OB |
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C上任意一点作它的切线l，与椭圆
| x2 |
| 4 |
| OM |
| ON |
分析：（1）（方法一）设P（x，y），A（x1，x1），B（x2，-x2）．由2
=
+
，知P是线段AB的中点，由此能得到点P的轨迹C的方程．
（方法二）由2
=
+
，知P为线段AB的中点，由M、N分别在直线y=x和y=-x上，知∠AOB=90°．由此能得到点P的轨迹C的方程．
（2）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，由l与C相切，知
=
，m2=
(1+k2)．联立
，故
．由此能够证明
•
为定值0．
| OP |
| OA |
| OB |
（方法二）由2
| OP |
| OA |
| OB |
（2）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，由l与C相切，知
| |m| | ||
|
2
| ||
| 5 |
| 4 |
| 5 |
|
|
| OM |
| ON |
解答：解：（1）（方法一）设P（x，y），A（x1，x1），B（x2，-x2）．
∵2
=
+
，∴P是线段AB的中点，∴
（2分）
∵|AB|=
，∴(x1-x2)2+(x1+x2)2=
，∴(2y)2+(2x)2=
．
∴化简得点P的轨迹C的方程为x2+y2=
．（5分）
（方法二）∵2
=
+
，∴P为线段AB的中点、（2分）
∵M、N分别在直线y=x和y=-x上，∴∠AOB=90°．
又|AB|=
，∴|OP|=
，∴点P在以原点为圆心，
为半径的圆上、
∴点P的轨迹C的方程为x2+y2=
．（5分）
（2）证明：当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，
∵l与C相切，∴
=
，∴m2=
(1+k2)．
联立
，∴
．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1•x2=
，y1y2=
．（8分）
∴
•
=x1x2+y1y2=
．
又m2=
(1+k2)，∴
•
=0．（10分）
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=±
，代入椭圆方程得
M（
，
），N（
，-
）或M（-
，
），N（-
，-
），
此时，
•
=
-
=0．
综上所述，
•
为定值0．（12分）
∵2
| OP |
| OA |
| OB |
|
∵|AB|=
4
| ||
| 5 |
| 16 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
∴化简得点P的轨迹C的方程为x2+y2=
| 4 |
| 5 |
（方法二）∵2
| OP |
| OA |
| OB |
∵M、N分别在直线y=x和y=-x上，∴∠AOB=90°．
又|AB|=
4
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
∴点P的轨迹C的方程为x2+y2=
| 4 |
| 5 |
（2）证明：当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，
∵l与C相切，∴
| |m| | ||
|
2
| ||
| 5 |
| 4 |
| 5 |
联立
|
|
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1•x2=
| 4m2-4 |
| 1+4k2 |
| m2-4k2 |
| 1+4k2 |
∴
| OM |
| ON |
| 5m2-4k2-4 |
| 1+4k2 |
又m2=
| 4 |
| 5 |
| OM |
| ON |
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=±
2
| ||
| 5 |
M（
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
此时，
| OM |
| ON |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
综上所述，
| OM |
| ON |
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆、椭圆的相关知识．
练习册系列答案
相关题目
，动点P满足
（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C．
交于M、N两点，求证：
为定值．
，动点P满足
（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C。
交于M、N两点，求证：
为定值。
，动点P满足
（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C．
交于M、N两点，求证：
为定值．
，动点P满足
（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C．
交于M、N两点，求证：
为定值．